Theorem fzspl 29550

Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. (more generic than fzsuc 12388) (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzspl	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. { N } ) )

Proof of Theorem fzspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11697	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zcnd 11483	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. CC )
3		1zzd 11408	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. ZZ )
4	3	zcnd 11483	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. CC )
5	2, 4	npcand 10396	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
6	5	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
7	6	ibir 257	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
8		eluzelre 11698	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )
9	8	lem1d 10957	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) <_ N )
10	1, 3	zsubcld 11487	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
11		eluz1 11691	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) <_ N ) ) )
12	10, 11	syl 17	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) <_ N ) ) )
13	1, 9, 12	mpbir2and 957	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
14		fzsplit2 12366	. . 3 |- ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
15	7, 13, 14	syl2anc 693	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) ) )
16	5	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) = ( N ... N ) )
17		fzsn 12383	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N ... N ) = { N } )
18	1, 17	syl 17	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N ... N ) = { N } )
19	16, 18	eqtrd 2656	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) = { N } )
20	19	uneq2d 3767	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. { N } ) )
21	15, 20	eqtrd 2656	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. { N } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fzdif2  29551  ballotlemfp1  30553