Theorem enfin1ai 9206

Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfin1ai	|- ( A ~~ B -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )

Proof of Theorem enfin1ai

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8005	. . 3 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
2		bren 7964	. . 3 |- ( B ~~ A <-> E. f f : B -1-1-onto-> A )
3	1, 2	sylib 208	. 2 |- ( A ~~ B -> E. f f : B -1-1-onto-> A )
4		elpwi 4168	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P B -> x C_ B )
5		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> A e. FinIa )
6		imassrn 5477	. . . . . . . . . 10 |- ( f " x ) C_ ran f
7		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B --> A )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> f : B --> A )
9		frn 6053	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : B --> A -> ran f C_ A )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ran f C_ A )
11	6, 10	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " x ) C_ A )
12		fin1ai 9115	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. FinIa /\ ( f " x ) C_ A ) -> ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) )
14		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B -1-1-> A )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> f : B -1-1-> A )
16		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> x C_ B )
17		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> x e. _V )
19		f1imaeng 8016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : B -1-1-> A /\ x C_ B /\ x e. _V ) -> ( f " x ) ~~ x )
20	15, 16, 18, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " x ) ~~ x )
21		enfi 8176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f " x ) ~~ x -> ( ( f " x ) e. Fin <-> x e. Fin ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " x ) e. Fin <-> x e. Fin ) )
23		df-f1 5893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : B -1-1-> A <-> ( f : B --> A /\ Fun `' f ) )
24	23	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : B -1-1-> A -> Fun `' f )
25		imadif 5973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun `' f -> ( f " ( B \ x ) ) = ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) )
26	15, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) = ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) )
27		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> f : B -onto-> A )
28		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : B -onto-> A -> ( f " B ) = A )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> ( f " B ) = A )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " B ) = A )
31	30	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( f " B ) \ ( f " x ) ) = ( A \ ( f " x ) ) )
32	26, 31	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) = ( A \ ( f " x ) ) )
33		difssd 3738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( B \ x ) C_ B )
34		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
35	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> f : B --> A )
36		dmfex 7124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. _V /\ f : B --> A ) -> B e. _V )
37	34, 35, 36	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> B e. _V )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> B e. _V )
39		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. _V -> ( B \ x ) e. _V )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( B \ x ) e. _V )
41		f1imaeng 8016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : B -1-1-> A /\ ( B \ x ) C_ B /\ ( B \ x ) e. _V ) -> ( f " ( B \ x ) ) ~~ ( B \ x ) )
42	15, 33, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( f " ( B \ x ) ) ~~ ( B \ x ) )
43	32, 42	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( A \ ( f " x ) ) ~~ ( B \ x ) )
44		enfi 8176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ ( f " x ) ) ~~ ( B \ x ) -> ( ( A \ ( f " x ) ) e. Fin <-> ( B \ x ) e. Fin ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( A \ ( f " x ) ) e. Fin <-> ( B \ x ) e. Fin ) )
46	22, 45	orbi12d 746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( ( ( f " x ) e. Fin \/ ( A \ ( f " x ) ) e. Fin ) <-> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
47	13, 46	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x C_ B ) -> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
48	4, 47	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) /\ x e. ~P B ) -> ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
49	48	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) )
50		isfin1a 9114	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( B e. FinIa <-> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
51	37, 50	syl 17	. . . . 5 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> ( B e. FinIa <-> A. x e. ~P B ( x e. Fin \/ ( B \ x ) e. Fin ) ) )
52	49, 51	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( f : B -1-1-onto-> A /\ A e. FinIa ) -> B e. FinIa )
53	52	ex 450	. . 3 |- ( f : B -1-1-onto-> A -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )
54	53	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. f f : B -1-1-onto-> A -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )
55	3, 54	syl 17	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. FinIa -> B e. FinIa ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ~~ cen 7952   Fincfn 7955  Fin^Iacfin1a 9100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fin1a 9107

This theorem is referenced by: (None)