Theorem evl1fval 19692

Description: Value of the simple/same ring evaluation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1fval.o	|- O = (eval1 ` R )
evl1fval.q	|- Q = ( 1o eval R )
evl1fval.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
evl1fval	|- O = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. Q )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, Q   x, R

Allowed substitution hints:   Q( y)   R( y)   O( x, y)

Proof of Theorem evl1fval

Dummy variables i r b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1fval.o	. . 3 |- O = (eval1 ` R )
2		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) e. _V )
3		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( Base ` r ) -> b = ( Base ` r ) )
4		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
5		evl1fval.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` R )
6	4, 5	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
7	3, 6	sylan9eqr 2678	. . . . . . . 8 |- ( ( r = R /\ b = ( Base ` r ) ) -> b = B )
8	7	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( r = R /\ b = ( Base ` r ) ) -> ( b ^m 1o ) = ( B ^m 1o ) )
9	7, 8	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ b = ( Base ` r ) ) -> ( b ^m ( b ^m 1o ) ) = ( B ^m ( B ^m 1o ) ) )
10	7	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( ( r = R /\ b = ( Base ` r ) ) -> ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) = ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) )
11	10	coeq2d 5284	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ b = ( Base ` r ) ) -> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
12	9, 11	mpteq12dv 4733	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = ( Base ` r ) ) -> ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) = ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) )
13		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( r = R /\ b = ( Base ` r ) ) -> r = R )
14	13	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ b = ( Base ` r ) ) -> ( 1o eval r ) = ( 1o eval R ) )
15		evl1fval.q	. . . . . . 7 |- Q = ( 1o eval R )
16	14, 15	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = ( Base ` r ) ) -> ( 1o eval r ) = Q )
17	12, 16	coeq12d 5286	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ b = ( Base ` r ) ) -> ( ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( 1o eval r ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. Q ) )
18	2, 17	csbied 3560	. . . 4 |- ( r = R -> [_ ( Base ` r ) / b ]_ ( ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( 1o eval r ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. Q ) )
19		df-evl1 19681	. . . 4 |- eval1 = ( r e. _V |-> [_ ( Base ` r ) / b ]_ ( ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( 1o eval r ) ) )
20		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( B ^m ( B ^m 1o ) ) e. _V
21	20	mptex 6486	. . . . 5 |- ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) e. _V
22		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 1o eval R ) e. _V
23	15, 22	eqeltri 2697	. . . . 5 |- Q e. _V
24	21, 23	coex 7118	. . . 4 |- ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. Q ) e. _V
25	18, 19, 24	fvmpt 6282	. . 3 |- ( R e. _V -> (eval1 ` R ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. Q ) )
26	1, 25	syl5eq 2668	. 2 |- ( R e. _V -> O = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. Q ) )
27		fvprc 6185	. . . . 5 |- ( -. R e. _V -> (eval1 ` R ) = (/) )
28	1, 27	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( -. R e. _V -> O = (/) )
29		co02 5649	. . . 4 |- ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. (/) ) = (/)
30	28, 29	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( -. R e. _V -> O = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. (/) ) )
31		df-evl 19507	. . . . . . 7 |- eval = ( i e. _V , r e. _V |-> ( ( i evalSub r ) ` ( Base ` r ) ) )
32	31	reldmmpt2 6771	. . . . . 6 |- Rel dom eval
33	32	ovprc2 6685	. . . . 5 |- ( -. R e. _V -> ( 1o eval R ) = (/) )
34	15, 33	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( -. R e. _V -> Q = (/) )
35	34	coeq2d 5284	. . 3 |- ( -. R e. _V -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. Q ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. (/) ) )
36	30, 35	eqtr4d 2659	. 2 |- ( -. R e. _V -> O = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. Q ) )
37	26, 36	pm2.61i 176	1 |- O = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. Q )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   [_csb 3533   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   evalSub ces 19504   eval cevl 19505  eval₁ce1 19679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-evl 19507  df-evl1 19681

This theorem is referenced by:  evl1val  19693  evl1fval1lem  19694  evl1rhm  19696  pf1rcl  19713