Theorem reldmmpt2 6771

Description: The domain of an operation defined by maps-to notation is a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
reldmmpt2	|- Rel dom F

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem reldmmpt2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmoprab 6745	. 2 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
2		rngop.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
3		df-mpt2 6655	. . . . 5 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
4	2, 3	eqtri 2644	. . . 4 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
5	4	dmeqi 5325	. . 3 |- dom F = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
6	5	releqi 5202	. 2 |- ( Rel dom F <-> Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } )
7	1, 6	mpbir 221	1 |- Rel dom F

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   dom cdm 5114   Rel wrel 5119   {coprab 6651   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-dm 5124  df-oprab 6654  df-mpt2 6655

This theorem is referenced by:  reldmmap  7866  reldmsets  15886  reldmress  15926  reldmprds  16109  gsum0  17278  reldmghm  17659  oppglsm  18057  reldmdprd  18396  reldmlmhm  19025  reldmpsr  19361  reldmmpl  19427  reldmopsr  19473  reldmevls  19517  vr1val  19562  reldmevls1  19682  evl1fval  19692  zrhval  19856  reldmdsmm  20077  frlmrcl  20101  matbas0pc  20215  mdetfval  20392  madufval  20443  qtopres  21501  fgabs  21683  reldmtng  22442  reldmnghm  22516  reldmnmhm  22517  dvbsss  23666  reldmmdeg  23817  nbgrprc0  26229  wwlksn  26729  wwlks2onv  26847  clwwlksn  26881  reldmresv  29826  bj-restsnid  33040  mzpmfp  37310  brovmptimex  38325