Theorem exse2 7105

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2921	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 5329	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3677	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3635	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 7097	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 4804	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 695	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2967	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 5074	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 224	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Se wse 5071   dom cdm 5114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-se 5074  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  dfac8clem  8855