Theorem dfac8clem 8855

Description: Lemma for dfac8c 8856. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfac8clem.1	|- F = ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )

Assertion

Ref	Expression
dfac8clem	|- ( A e. B -> ( E. r r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, f, r, s, z, A   B, r, s   f, F, z

Allowed substitution hints:   B( z, f, a, b)   F( s, r, a, b)

Proof of Theorem dfac8clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4317	. . . . . . 7 |- ( s e. ( A \ { (/) } ) <-> ( s e. A /\ s =/= (/) ) )
2		elssuni 4467	. . . . . . . . 9 |- ( s e. A -> s C_ U. A )
3	2	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> s C_ U. A )
4		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> r We U. A )
5		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
6		exse2 7105	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. _V -> r Se U. A )
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> r Se U. A )
8		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> s =/= (/) )
9		wereu2 5111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( r We U. A /\ r Se U. A ) /\ ( s C_ U. A /\ s =/= (/) ) ) -> E! a e. s A. b e. s -. b r a )
10	4, 7, 3, 8, 9	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> E! a e. s A. b e. s -. b r a )
11		riotacl 6625	. . . . . . . . 9 |- ( E! a e. s A. b e. s -. b r a -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. s )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. s )
13	3, 12	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. U. A )
14	1, 13	sylan2b 492	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ s e. ( A \ { (/) } ) ) -> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. U. A )
15		dfac8clem.1	. . . . . 6 |- F = ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
16	14, 15	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> F : ( A \ { (/) } ) --> U. A )
17		difexg 4808	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( A \ { (/) } ) e. _V )
18	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> ( A \ { (/) } ) e. _V )
19		uniexg 6955	. . . . . 6 |- ( A e. B -> U. A e. _V )
20	19	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> U. A e. _V )
21		fex2 7121	. . . . 5 |- ( ( F : ( A \ { (/) } ) --> U. A /\ ( A \ { (/) } ) e. _V /\ U. A e. _V ) -> F e. _V )
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> F e. _V )
23		riotaex 6615	. . . . . . . . . . 11 |- ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. _V
24	15	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. ( A \ { (/) } ) /\ ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) e. _V ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
25	23, 24	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A \ { (/) } ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
26	1, 25	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. A /\ s =/= (/) ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( F ` s ) = ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
28	27, 12	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ ( s e. A /\ s =/= (/) ) ) -> ( F ` s ) e. s )
29	28	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. B /\ r We U. A ) /\ s e. A ) -> ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
30	29	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> A. s e. A ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
31		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ s z =/= (/)
32		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ s ( s e. ( A \ { (/) } ) |-> ( iota_ a e. s A. b e. s -. b r a ) )
33	15, 32	nfcxfr 2762	. . . . . . . . 9 |- F/_ s F
34		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ s z
35	33, 34	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ s ( F ` z )
36	35	nfel1 2779	. . . . . . 7 |- F/ s ( F ` z ) e. z
37	31, 36	nfim 1825	. . . . . 6 |- F/ s ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z )
38		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ z ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s )
39		neeq1 2856	. . . . . . 7 |- ( z = s -> ( z =/= (/) <-> s =/= (/) ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> ( F ` z ) = ( F ` s ) )
41		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = s -> z = s )
42	40, 41	eleq12d 2695	. . . . . . 7 |- ( z = s -> ( ( F ` z ) e. z <-> ( F ` s ) e. s ) )
43	39, 42	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( z = s -> ( ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) ) )
44	37, 38, 43	cbvral 3167	. . . . 5 |- ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> A. s e. A ( s =/= (/) -> ( F ` s ) e. s ) )
45	30, 44	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
46		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
47	46	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( F ` z ) e. z ) )
48	47	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) ) )
49	48	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) ) )
50	49	spcegv 3294	. . . 4 |- ( F e. _V -> ( A. z e. A ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
51	22, 45, 50	sylc 65	. . 3 |- ( ( A e. B /\ r We U. A ) -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
52	51	ex 450	. 2 |- ( A e. B -> ( r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
53	52	exlimdv 1861	1 |- ( A e. B -> ( E. r r We U. A -> E. f A. z e. A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Se wse 5071   We wwe 5072   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-riota 6611

This theorem is referenced by:  dfac8c  8856