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Theorem fcfnei 21839
Description: The property of being a cluster point of a function in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fcfnei |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
Distinct variable groups:   A, n   n, s, J   n, L, s   n, F, s   n, X, s   n, Y, s
Allowed substitution hint:   A( s)
Proof of Theorem fcfnei
Dummy variable o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfcf 21838 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )
2 simpll1 1100 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3 topontop 20718 . . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
42, 3syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. Top )
5 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
6 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
76neii1 20910 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n C_ U. J )
84, 5, 7syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> n C_ U. J )
96ntrss2 20861 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ n C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` n ) C_ n )
104, 8, 9syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` n ) C_ n )
11 simplr 792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. X )
12 toponuni 20719 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
132, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> X = U. J )
1411, 13eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. U. J )
1514snssd 4340 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ U. J )
166neiint 20908 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ n C_ U. J ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
174, 15, 8, 16syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
185, 17mpbid 222 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) )
19 snssg 4327 . . . . . . . . 9 |- ( A e. X -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
2011, 19syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` n ) ) )
2118, 20mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. ( ( int ` J ) ` n ) )
226ntropn 20853 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ n C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` n ) e. J )
234, 8, 22syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` n ) e. J )
24 eleq2 2690 . . . . . . . . . 10 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( A e. o <-> A e. ( ( int ` J ) ` n ) ) )
25 ineq1 3807 . . . . . . . . . . . 12 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( o i^i ( F " s ) ) = ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) )
2625neeq1d 2853 . . . . . . . . . . 11 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
2726ralbidv 2986 . . . . . . . . . 10 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
2824, 27imbi12d 334 . . . . . . . . 9 |- ( o = ( ( int ` J ) ` n ) -> ( ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) <-> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
2928rspcv 3305 . . . . . . . 8 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) e. J -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
3023, 29syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` n ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
3121, 30mpid 44 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
32 ssrin 3838 . . . . . . . 8 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) )
33 ssn0 3976 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) /\ ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) )
3433ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) C_ ( n i^i ( F " s ) ) -> ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
3532, 34syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
3635ralimdv 2963 . . . . . 6 |- ( ( ( int ` J ) ` n ) C_ n -> ( A. s e. L ( ( ( int ` J ) ` n ) i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
3710, 31, 36sylsyld 61 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
3837ralrimdva 2969 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
39 simpl1 1064 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
4039, 3syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
41 opnneip 20923 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ o e. J /\ A e. o ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
42413expb 1266 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
4340, 42sylan 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
44 ineq1 3807 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = o -> ( n i^i ( F " s ) ) = ( o i^i ( F " s ) ) )
4544neeq1d 2853 . . . . . . . . . 10 |- ( n = o -> ( ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
4645ralbidv 2986 . . . . . . . . 9 |- ( n = o -> ( A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) <-> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
4746rspcv 3305 . . . . . . . 8 |- ( o e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
4843, 47syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
4948expr 643 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( A e. o -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
5049com23 86 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
5150ralrimdva 2969 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
5238, 51impbid 202 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) <-> A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
5352pm5.32da 673 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
541, 53bitrd 268 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. n e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. s e. L ( n i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   neicnei 20901   Filcfil 21649   fClusf cfcf 21741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-fcls 21745  df-fcf 21746
This theorem is referenced by:  fcfneii  21841
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