Theorem isfcf 21838

Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfcf	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, o   o, s, J   o, L, s   o, F, s   o, X, s   o, Y, s

Allowed substitution hint:   A( s)

Proof of Theorem isfcf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcfval 21837	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( J fClusf L ) ` F ) = ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) )
2	1	eleq2d 2687	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) ) )
3		simp1 1061	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
4		toponmax 20730	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
5		filfbas 21652	. . . 4 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> L e. ( fBas ` Y ) )
6		id 22	. . . 4 |- ( F : Y --> X -> F : Y --> X )
7		fmfil 21748	. . . 4 |- ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) )
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1368	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) )
9		fclsopn 21818	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
10	3, 8, 9	syl2anc 693	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( J fClus ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
11		simpll1 1100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> J e. (TopOn ` X ) )
12	11, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> X e. J )
13		simpll2 1101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
14	13, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> L e. ( fBas ` Y ) )
15		simpll3 1102	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> F : Y --> X )
16		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
17		fgfil 21679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> ( Y filGen L ) = L )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( Y filGen L ) = L )
19	18	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( s e. ( Y filGen L ) <-> s e. L ) )
20	19	biimpar 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> s e. ( Y filGen L ) )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Y filGen L ) = ( Y filGen L )
22	21	imaelfm 21755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ s e. ( Y filGen L ) ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) )
23	12, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1329	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) )
24		ineq2 3808	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F " s ) -> ( o i^i x ) = ( o i^i ( F " s ) ) )
25	24	neeq1d 2853	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F " s ) -> ( ( o i^i x ) =/= (/) <-> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
26	25	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` L ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
27	23, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ s e. L ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
28	27	ralrimdva 2969	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
29		elfm 21751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
30	4, 5, 6, 29	syl3an 1368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( x C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ x ) ) )
32	31	simplbda 654	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) -> E. s e. L ( F " s ) C_ x )
33		r19.29r 3073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. s e. L ( F " s ) C_ x /\ A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> E. s e. L ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
34		sslin 3839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " s ) C_ x -> ( o i^i ( F " s ) ) C_ ( o i^i x ) )
35		ssn0 3976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( o i^i ( F " s ) ) C_ ( o i^i x ) /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
36	34, 35	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
37	36	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . 10 |- ( E. s e. L ( ( F " s ) C_ x /\ ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. s e. L ( F " s ) C_ x /\ A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) -> ( o i^i x ) =/= (/) )
39	38	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( E. s e. L ( F " s ) C_ x -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( o i^i x ) =/= (/) ) )
40	32, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) /\ x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> ( o i^i x ) =/= (/) ) )
41	40	ralrimdva 2969	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) )
42	28, 41	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) <-> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) )
43	42	imbi2d 330	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) <-> ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
44	43	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) )
45	44	anbi2d 740	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. x e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ( o i^i x ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )
46	2, 10, 45	3bitrd 294	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fClusf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. L ( o i^i ( F " s ) ) =/= (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735  TopOnctopon 20715   Filcfil 21649   FilMap cfm 21737   fClus cfcls 21740   fClusf cfcf 21741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-fil 21650  df-fm 21742  df-fcls 21745  df-fcf 21746

This theorem is referenced by:  fcfnei  21839