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Theorem fcobij 29500
Description: Composing functions with a bijection yields a bijection between sets of functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcobij.1 |- ( ph -> G : S -1-1-onto-> T )
fcobij.2 |- ( ph -> R e. U )
fcobij.3 |- ( ph -> S e. V )
fcobij.4 |- ( ph -> T e. W )
Assertion
Ref Expression
fcobij |- ( ph -> ( f e. ( S ^m R ) |-> ( G o. f ) ) : ( S ^m R ) -1-1-onto-> ( T ^m R ) )
Distinct variable groups:   f, G   R, f   S, f   T, f   ph, f
Allowed substitution hints:   U( f)   V( f)   W( f)
Proof of Theorem fcobij
Dummy variable h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . 2 |- ( f e. ( S ^m R ) |-> ( G o. f ) ) = ( f e. ( S ^m R ) |-> ( G o. f ) )
2 fcobij.1 . . . . . 6 |- ( ph -> G : S -1-1-onto-> T )
3 f1of 6137 . . . . . 6 |- ( G : S -1-1-onto-> T -> G : S --> T )
42, 3syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> G : S --> T )
54adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( S ^m R ) ) -> G : S --> T )
6 fcobij.3 . . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
7 fcobij.2 . . . . . 6 |- ( ph -> R e. U )
86, 7elmapd 7871 . . . . 5 |- ( ph -> ( f e. ( S ^m R ) <-> f : R --> S ) )
98biimpa 501 . . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( S ^m R ) ) -> f : R --> S )
10 fco 6058 . . . 4 |- ( ( G : S --> T /\ f : R --> S ) -> ( G o. f ) : R --> T )
115, 9, 10syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ph /\ f e. ( S ^m R ) ) -> ( G o. f ) : R --> T )
12 fcobij.4 . . . . 5 |- ( ph -> T e. W )
1312, 7elmapd 7871 . . . 4 |- ( ph -> ( ( G o. f ) e. ( T ^m R ) <-> ( G o. f ) : R --> T ) )
1413adantr 481 . . 3 |- ( ( ph /\ f e. ( S ^m R ) ) -> ( ( G o. f ) e. ( T ^m R ) <-> ( G o. f ) : R --> T ) )
1511, 14mpbird 247 . 2 |- ( ( ph /\ f e. ( S ^m R ) ) -> ( G o. f ) e. ( T ^m R ) )
16 f1ocnv 6149 . . . . . 6 |- ( G : S -1-1-onto-> T -> `' G : T -1-1-onto-> S )
17 f1of 6137 . . . . . 6 |- ( `' G : T -1-1-onto-> S -> `' G : T --> S )
182, 16, 173syl 18 . . . . 5 |- ( ph -> `' G : T --> S )
1918adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ h e. ( T ^m R ) ) -> `' G : T --> S )
2012, 7elmapd 7871 . . . . 5 |- ( ph -> ( h e. ( T ^m R ) <-> h : R --> T ) )
2120biimpa 501 . . . 4 |- ( ( ph /\ h e. ( T ^m R ) ) -> h : R --> T )
22 fco 6058 . . . 4 |- ( ( `' G : T --> S /\ h : R --> T ) -> ( `' G o. h ) : R --> S )
2319, 21, 22syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ph /\ h e. ( T ^m R ) ) -> ( `' G o. h ) : R --> S )
246, 7elmapd 7871 . . . 4 |- ( ph -> ( ( `' G o. h ) e. ( S ^m R ) <-> ( `' G o. h ) : R --> S ) )
2524adantr 481 . . 3 |- ( ( ph /\ h e. ( T ^m R ) ) -> ( ( `' G o. h ) e. ( S ^m R ) <-> ( `' G o. h ) : R --> S ) )
2623, 25mpbird 247 . 2 |- ( ( ph /\ h e. ( T ^m R ) ) -> ( `' G o. h ) e. ( S ^m R ) )
27 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ f = ( `' G o. h ) ) -> f = ( `' G o. h ) )
2827coeq2d 5284 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ f = ( `' G o. h ) ) -> ( G o. f ) = ( G o. ( `' G o. h ) ) )
29 coass 5654 . . . . 5 |- ( ( G o. `' G ) o. h ) = ( G o. ( `' G o. h ) )
3028, 29syl6eqr 2674 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ f = ( `' G o. h ) ) -> ( G o. f ) = ( ( G o. `' G ) o. h ) )
31 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ f = ( `' G o. h ) ) -> ph )
32 f1ococnv2 6163 . . . . . 6 |- ( G : S -1-1-onto-> T -> ( G o. `' G ) = ( _I |` T ) )
3331, 2, 323syl 18 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ f = ( `' G o. h ) ) -> ( G o. `' G ) = ( _I |` T ) )
3433coeq1d 5283 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ f = ( `' G o. h ) ) -> ( ( G o. `' G ) o. h ) = ( ( _I |` T ) o. h ) )
35 simplrr 801 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ f = ( `' G o. h ) ) -> h e. ( T ^m R ) )
3631, 35, 21syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ f = ( `' G o. h ) ) -> h : R --> T )
37 fcoi2 6079 . . . . 5 |- ( h : R --> T -> ( ( _I |` T ) o. h ) = h )
3836, 37syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ f = ( `' G o. h ) ) -> ( ( _I |` T ) o. h ) = h )
3930, 34, 383eqtrrd 2661 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ f = ( `' G o. h ) ) -> h = ( G o. f ) )
40 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ h = ( G o. f ) ) -> h = ( G o. f ) )
4140coeq2d 5284 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ h = ( G o. f ) ) -> ( `' G o. h ) = ( `' G o. ( G o. f ) ) )
42 coass 5654 . . . . 5 |- ( ( `' G o. G ) o. f ) = ( `' G o. ( G o. f ) )
4341, 42syl6eqr 2674 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ h = ( G o. f ) ) -> ( `' G o. h ) = ( ( `' G o. G ) o. f ) )
44 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ h = ( G o. f ) ) -> ph )
45 f1ococnv1 6165 . . . . . 6 |- ( G : S -1-1-onto-> T -> ( `' G o. G ) = ( _I |` S ) )
4644, 2, 453syl 18 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ h = ( G o. f ) ) -> ( `' G o. G ) = ( _I |` S ) )
4746coeq1d 5283 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ h = ( G o. f ) ) -> ( ( `' G o. G ) o. f ) = ( ( _I |` S ) o. f ) )
48 simplrl 800 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ h = ( G o. f ) ) -> f e. ( S ^m R ) )
4944, 48, 9syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ h = ( G o. f ) ) -> f : R --> S )
50 fcoi2 6079 . . . . 5 |- ( f : R --> S -> ( ( _I |` S ) o. f ) = f )
5149, 50syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ h = ( G o. f ) ) -> ( ( _I |` S ) o. f ) = f )
5243, 47, 513eqtrrd 2661 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) /\ h = ( G o. f ) ) -> f = ( `' G o. h ) )
5339, 52impbida 877 . 2 |- ( ( ph /\ ( f e. ( S ^m R ) /\ h e. ( T ^m R ) ) ) -> ( f = ( `' G o. h ) <-> h = ( G o. f ) ) )
541, 15, 26, 53f1o2d 6887 1 |- ( ph -> ( f e. ( S ^m R ) |-> ( G o. f ) ) : ( S ^m R ) -1-1-onto-> ( T ^m R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859
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