Theorem fcoi2 6079

Description: Composition of restricted identity and a mapping. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fcoi2	|- ( F : A --> B -> ( ( _I |` B ) o. F ) = F )

Proof of Theorem fcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 5892	. 2 |- ( F : A --> B <-> ( F Fn A /\ ran F C_ B ) )
2		cores 5638	. . 3 |- ( ran F C_ B -> ( ( _I |` B ) o. F ) = ( _I o. F ) )
3		fnrel 5989	. . . 4 |- ( F Fn A -> Rel F )
4		coi2 5652	. . . 4 |- ( Rel F -> ( _I o. F ) = F )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( F Fn A -> ( _I o. F ) = F )
6	2, 5	sylan9eqr 2678	. 2 |- ( ( F Fn A /\ ran F C_ B ) -> ( ( _I |` B ) o. F ) = F )
7	1, 6	sylbi 207	1 |- ( F : A --> B -> ( ( _I |` B ) o. F ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   C_ wss 3574   _I cid 5023   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892

This theorem is referenced by:  fcof1oinvd  6548  mapen  8124  mapfien  8313  hashfacen  13238  cofulid  16550  setccatid  16734  estrccatid  16772  symggrp  17820  f1omvdco2  17868  symggen  17890  psgnunilem1  17913  gsumval3  18308  gsumzf1o  18313  frgpcyg  19922  f1linds  20164  qtophmeo  21620  motgrp  25438  hoico2  28616  fcoinver  29418  fcobij  29500  symgfcoeu  29845  subfacp1lem5  31166  ltrncoidN  35414  trlcoat  36011  trlcone  36016  cdlemg47a  36022  cdlemg47  36024  trljco  36028  tgrpgrplem  36037  tendo1mul  36058  tendo0pl  36079  cdlemkid2  36212  cdlemk45  36235  cdlemk53b  36244  erng1r  36283  tendocnv  36310  dvalveclem  36314  dva0g  36316  dvhgrp  36396  dvhlveclem  36397  dvh0g  36400  cdlemn8  36493  dihordlem7b  36504  dihopelvalcpre  36537  mendring  37762  rngccatidALTV  41989  ringccatidALTV  42052