Theorem f1ococnv1 6165

Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv1	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )

Proof of Theorem f1ococnv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1orel 6140	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Rel F )
2		dfrel2 5583	. . . 4 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
3	1, 2	sylib 208	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' `' F = F )
4	3	coeq2d 5284	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. `' `' F ) = ( `' F o. F ) )
5		f1ocnv 6149	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6		f1ococnv2 6163	. . 3 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> ( `' F o. `' `' F ) = ( _I |` A ) )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. `' `' F ) = ( _I |` A ) )
8	4, 7	eqtr3d 2658	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   -1-1-onto->wf1o 5887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895

This theorem is referenced by:  f1cocnv1  6166  f1ocnvfv1  6532  fcof1oinvd  6548  mapen  8124  mapfien  8313  hashfacen  13238  setcinv  16740  catcisolem  16756  symggrp  17820  f1omvdco2  17868  pf1mpf  19716  ufldom  21766  motgrp  25438  fmptco1f1o  29434  fcobij  29500  symgfcoeu  29845  reprpmtf1o  30704  subfacp1lem5  31166  ltrncoidN  35414  trlcoabs2N  36010  trlcoat  36011  trlcone  36016  cdlemg47  36024  tgrpgrplem  36037  tendoipl  36085  cdlemi2  36107  cdlemk2  36120  cdlemk4  36122  cdlemk8  36126  tendocnv  36310  dvhgrp  36396  cdlemn8  36493  dihopelvalcpre  36537  dssmap2d  38316  rngcinv  41981  rngcinvALTV  41993  ringcinv  42032  ringcinvALTV  42056