Theorem flffbas 21799

Description: Limit points of a function can be defined using filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
flffbas.l	|- L = ( Y filGen B )

Assertion

Ref	Expression
flffbas	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) )

Distinct variable groups:   o, s, A   B, o, s   o, F, s   o, J, s   o, L, s   o, X, s   o, Y, s

Proof of Theorem flffbas

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flffbas.l	. . . 4 |- L = ( Y filGen B )
2		fgcl 21682	. . . 4 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( Y filGen B ) e. ( Fil ` Y ) )
3	1, 2	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
4		isflf 21797	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) ) ) )
5	3, 4	syl3an2 1360	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) ) ) )
6	1	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( t e. L <-> t e. ( Y filGen B ) )
7		elfg 21675	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( t e. ( Y filGen B ) <-> ( t C_ Y /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
8	7	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( t e. ( Y filGen B ) <-> ( t C_ Y /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
9		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F " s ) C_ ( F " t ) -> ( ( F " t ) C_ o -> ( F " s ) C_ o ) )
10		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s C_ t -> ( F " s ) C_ ( F " t ) )
11	9, 10	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F " t ) C_ o -> ( s C_ t -> ( F " s ) C_ o ) )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ ( F " t ) C_ o ) -> ( s C_ t -> ( F " s ) C_ o ) )
13	12	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ ( F " t ) C_ o ) -> ( E. s e. B s C_ t -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) )
14	13	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( F " t ) C_ o -> ( E. s e. B s C_ t -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) )
15	14	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( E. s e. B s C_ t -> ( ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) )
16	15	adantld 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( t C_ Y /\ E. s e. B s C_ t ) -> ( ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) )
17	8, 16	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( t e. ( Y filGen B ) -> ( ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( t e. ( Y filGen B ) -> ( ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) )
19	6, 18	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( t e. L -> ( ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) )
20	19	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( E. t e. L ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) )
21		ssfg 21676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> B C_ ( Y filGen B ) )
22	21, 1	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> B C_ L )
23	22	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ s e. B ) -> s e. L )
24	23	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ s e. B ) -> s e. L )
25	24	ad2ant2r 783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( s e. B /\ ( F " s ) C_ o ) ) -> s e. L )
26		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( s e. B /\ ( F " s ) C_ o ) ) -> ( F " s ) C_ o )
27		imaeq2 5462	. . . . . . . . . 10 |- ( t = s -> ( F " t ) = ( F " s ) )
28	27	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( ( F " t ) C_ o <-> ( F " s ) C_ o ) )
29	28	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. L /\ ( F " s ) C_ o ) -> E. t e. L ( F " t ) C_ o )
30	25, 26, 29	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( s e. B /\ ( F " s ) C_ o ) ) -> E. t e. L ( F " t ) C_ o )
31	30	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( E. s e. B ( F " s ) C_ o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) )
32	20, 31	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( E. t e. L ( F " t ) C_ o <-> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) )
33	32	imbi2d 330	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( ( A e. o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) <-> ( A e. o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) )
34	33	ralbidv 2986	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) <-> A. o e. J ( A e. o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) )
35	34	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) )
36	5, 35	bitrd 268	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735  TopOnctopon 20715   Filcfil 21649   fLimf cflf 21739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744

This theorem is referenced by:  lmflf  21809  eltsms  21936