Theorem flftg 21800

Description: Limit points of a function can be defined using topological bases. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
flftg.l	|- J = ( topGen ` B )

Assertion

Ref	Expression
flftg	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) ) )

Distinct variable groups:   o, s, A   B, o   o, F, s   J, s   o, L, s   X, s   Y, s

Allowed substitution hints:   B( s)   J( o)   X( o)   Y( o)

Proof of Theorem flftg

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isflf 21797	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. u e. J ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) ) ) )
2		flftg.l	. . . . 5 |- J = ( topGen ` B )
3	2	raleqi 3142	. . . 4 |- ( A. u e. J ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) <-> A. u e. ( topGen ` B ) ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) )
4		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5		topontop 20718	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
7	2, 6	syl5eqelr 2706	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( topGen ` B ) e. Top )
8		tgclb 20774	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
9	7, 8	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> B e. TopBases )
10		bastg 20770	. . . . . 6 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
11		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( u = o -> ( A e. u <-> A e. o ) )
12		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( u = o -> ( ( F " s ) C_ u <-> ( F " s ) C_ o ) )
13	12	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( u = o -> ( E. s e. L ( F " s ) C_ u <-> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) )
14	11, 13	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( u = o -> ( ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) <-> ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
15	14	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. u e. ( topGen ` B ) ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) <-> A. o e. ( topGen ` B ) ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) )
16		ssralv 3666	. . . . . . 7 |- ( B C_ ( topGen ` B ) -> ( A. o e. ( topGen ` B ) ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) -> A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
17	15, 16	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( B C_ ( topGen ` B ) -> ( A. u e. ( topGen ` B ) ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) -> A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
18	9, 10, 17	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. u e. ( topGen ` B ) ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) -> A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
19		tg2 20769	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ( topGen ` B ) /\ A e. u ) -> E. o e. B ( A e. o /\ o C_ u ) )
20		r19.29 3072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) /\ E. o e. B ( A e. o /\ o C_ u ) ) -> E. o e. B ( ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) /\ ( A e. o /\ o C_ u ) ) )
21		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. o /\ o C_ u ) -> A e. o )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. o /\ o C_ u ) -> o C_ u )
23		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F " s ) C_ o -> ( o C_ u -> ( F " s ) C_ u ) )
24	22, 23	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. o /\ o C_ u ) -> ( ( F " s ) C_ o -> ( F " s ) C_ u ) )
25	24	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. o /\ o C_ u ) -> ( E. s e. L ( F " s ) C_ o -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) )
26	21, 25	embantd 59	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. o /\ o C_ u ) -> ( ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) )
27	26	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) /\ ( A e. o /\ o C_ u ) ) -> E. s e. L ( F " s ) C_ u )
28	27	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . 10 |- ( E. o e. B ( ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) /\ ( A e. o /\ o C_ u ) ) -> E. s e. L ( F " s ) C_ u )
29	20, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) /\ E. o e. B ( A e. o /\ o C_ u ) ) -> E. s e. L ( F " s ) C_ u )
30	29	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) -> ( E. o e. B ( A e. o /\ o C_ u ) -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) )
31	19, 30	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) -> ( ( u e. ( topGen ` B ) /\ A e. u ) -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) )
32	31	expdimp 453	. . . . . 6 |- ( ( A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) /\ u e. ( topGen ` B ) ) -> ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) )
33	32	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) -> A. u e. ( topGen ` B ) ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) )
34	18, 33	impbid1 215	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. u e. ( topGen ` B ) ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) <-> A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
35	3, 34	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. u e. J ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) <-> A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
36	35	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. u e. J ( A e. u -> E. s e. L ( F " s ) C_ u ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) ) )
37	1, 36	bitrd 268	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. B ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   TopBasesctb 20749   Filcfil 21649   fLimf cflf 21739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-topgen 16104  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744

This theorem is referenced by:  txflf  21810