Theorem isflf 21797

Description: The property of being a limit point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isflf	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, o   o, s, F   o, J, s   o, L, s   o, X, s   o, Y, s

Allowed substitution hint:   A( s)

Proof of Theorem isflf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flfval 21794	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( J fLimf L ) ` F ) = ( J fLim ( ( X FilMap F ) ` L ) ) )
2	1	eleq2d 2687	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> A e. ( J fLim ( ( X FilMap F ) ` L ) ) ) )
3		simp1 1061	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
4		toponmax 20730	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
5	4	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> X e. J )
6		filfbas 21652	. . . . 5 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> L e. ( fBas ` Y ) )
7	6	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> L e. ( fBas ` Y ) )
8		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> F : Y --> X )
9		fmfil 21748	. . . 4 |- ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) )
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) )
11		flimopn 21779	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( X FilMap F ) ` L ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> o e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) ) ) )
12	3, 10, 11	syl2anc 693	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( J fLim ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> o e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) ) ) )
13		elfm 21751	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. J /\ L e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( o e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( o C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
14	5, 7, 8, 13	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( o e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( o C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( o e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> ( o C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
16		toponss 20731	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J ) -> o C_ X )
17	3, 16	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> o C_ X )
18	17	biantrurd 529	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( E. s e. L ( F " s ) C_ o <-> ( o C_ X /\ E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
19	15, 18	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( o e. ( ( X FilMap F ) ` L ) <-> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) )
20	19	imbi2d 330	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o -> o e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
21	20	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> o e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) )
22	21	anbi2d 740	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> o e. ( ( X FilMap F ) ` L ) ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) ) )
23	2, 12, 22	3bitrd 294	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. s e. L ( F " s ) C_ o ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734  TopOnctopon 20715   Filcfil 21649   FilMap cfm 21737   fLim cflim 21738   fLimf cflf 21739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744

This theorem is referenced by:  flfelbas  21798  flffbas  21799  flftg  21800  cnpflfi  21803  cnpflf2  21804  txflf  21810  limcflf  23645  rrhre  30065