Theorem fmfnfmlem2 21759

Description: Lemma for fmfnfm 21762. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmfnfm.b	|- ( ph -> B e. ( fBas ` Y ) )
fmfnfm.l	|- ( ph -> L e. ( Fil ` X ) )
fmfnfm.f	|- ( ph -> F : Y --> X )
fmfnfm.fm	|- ( ph -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ L )

Assertion

Ref	Expression
fmfnfmlem2	|- ( ph -> ( E. x e. L s = ( `' F " x ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )

Distinct variable groups:   t, s, x, B   F, s, t, x   L, s, t, x   ph, s, t, x   X, s, t, x   Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmfnfm.l	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. ( Fil ` X ) )
2	1	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> L e. ( Fil ` X ) )
3		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> x e. L )
4		fmfnfm.fm	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ L )
5		fmfnfm.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : Y --> X )
6		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : Y --> X -> F Fn Y )
7		dffn4 6121	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn Y <-> F : Y -onto-> ran F )
8	6, 7	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( F : Y --> X -> F : Y -onto-> ran F )
9		foima 6120	. . . . . . . . . 10 |- ( F : Y -onto-> ran F -> ( F " Y ) = ran F )
10	5, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F " Y ) = ran F )
11		filtop 21659	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> X e. L )
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. L )
13		fmfnfm.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ( fBas ` Y ) )
14		fgcl 21682	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( Y filGen B ) e. ( Fil ` Y ) )
15		filtop 21659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y filGen B ) e. ( Fil ` Y ) -> Y e. ( Y filGen B ) )
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. ( Y filGen B ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y filGen B ) = ( Y filGen B )
18	17	imaelfm 21755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. L /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ Y e. ( Y filGen B ) ) -> ( F " Y ) e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
19	12, 13, 5, 16, 18	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F " Y ) e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
20	10, 19	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
21	4, 20	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran F e. L )
22	21	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ran F e. L )
23		filin 21658	. . . . . 6 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ x e. L /\ ran F e. L ) -> ( x i^i ran F ) e. L )
24	2, 3, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( x i^i ran F ) e. L )
25		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> t C_ X )
26		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( y e. ( x i^i ran F ) <-> ( y e. x /\ y e. ran F ) )
27		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn Y -> ( y e. ran F <-> E. z e. Y ( F ` z ) = y ) )
28	5, 6, 27	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ran F <-> E. z e. Y ( F ` z ) = y ) )
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( F " ( `' F " x ) ) C_ t ) -> ( y e. ran F <-> E. z e. Y ( F ` z ) = y ) )
30		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : Y --> X -> Fun F )
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Fun F )
32	31	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ z e. Y ) ) -> Fun F )
33		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ z e. Y ) ) -> z e. Y )
34		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : Y --> X -> dom F = Y )
35	5, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom F = Y )
36	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ z e. Y ) ) -> dom F = Y )
37	33, 36	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ z e. Y ) ) -> z e. dom F )
38		fvimacnv 6332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( ( F ` z ) e. x <-> z e. ( `' F " x ) ) )
39	32, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) e. x <-> z e. ( `' F " x ) ) )
40		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' F " x ) C_ dom F
41		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun F /\ ( `' F " x ) C_ dom F ) -> ( z e. ( `' F " x ) -> ( F ` z ) e. ( F " ( `' F " x ) ) ) )
42	32, 40, 41	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ z e. Y ) ) -> ( z e. ( `' F " x ) -> ( F ` z ) e. ( F " ( `' F " x ) ) ) )
43		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t -> ( ( F ` z ) e. ( F " ( `' F " x ) ) -> ( F ` z ) e. t ) )
44	43	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " ( `' F " x ) ) -> ( F ` z ) e. t ) )
45	42, 44	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ z e. Y ) ) -> ( z e. ( `' F " x ) -> ( F ` z ) e. t ) )
46	39, 45	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) e. x -> ( F ` z ) e. t ) )
47		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` z ) = y -> ( ( F ` z ) e. x <-> y e. x ) )
48		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` z ) = y -> ( ( F ` z ) e. t <-> y e. t ) )
49	47, 48	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` z ) = y -> ( ( ( F ` z ) e. x -> ( F ` z ) e. t ) <-> ( y e. x -> y e. t ) ) )
50	46, 49	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) = y -> ( y e. x -> y e. t ) ) )
51	50	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( F " ( `' F " x ) ) C_ t ) -> ( z e. Y -> ( ( F ` z ) = y -> ( y e. x -> y e. t ) ) ) )
52	51	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( F " ( `' F " x ) ) C_ t ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = y -> ( y e. x -> y e. t ) ) )
53	29, 52	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( F " ( `' F " x ) ) C_ t ) -> ( y e. ran F -> ( y e. x -> y e. t ) ) )
54	53	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( F " ( `' F " x ) ) C_ t ) -> ( y e. x -> ( y e. ran F -> y e. t ) ) )
55	54	impd 447	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( F " ( `' F " x ) ) C_ t ) -> ( ( y e. x /\ y e. ran F ) -> y e. t ) )
56	55	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( ( y e. x /\ y e. ran F ) -> y e. t ) )
57	26, 56	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( y e. ( x i^i ran F ) -> y e. t ) )
58	57	ssrdv 3609	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( x i^i ran F ) C_ t )
59		filss 21657	. . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( ( x i^i ran F ) e. L /\ t C_ X /\ ( x i^i ran F ) C_ t ) ) -> t e. L )
60	2, 24, 25, 58, 59	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> t e. L )
61	60	exp32 631	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. L ) -> ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) )
62		imaeq2 5462	. . . . 5 |- ( s = ( `' F " x ) -> ( F " s ) = ( F " ( `' F " x ) ) )
63	62	sseq1d 3632	. . . 4 |- ( s = ( `' F " x ) -> ( ( F " s ) C_ t <-> ( F " ( `' F " x ) ) C_ t ) )
64	63	imbi1d 331	. . 3 |- ( s = ( `' F " x ) -> ( ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) <-> ( ( F " ( `' F " x ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
65	61, 64	syl5ibrcom 237	. 2 |- ( ( ph /\ x e. L ) -> ( s = ( `' F " x ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
66	65	rexlimdva 3031	1 |- ( ph -> ( E. x e. L s = ( `' F " x ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649   FilMap cfm 21737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-fm 21742

This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  21761