Theorem fmfnfm 21762

Description: A filter finer than an image filter is an image filter of the same function. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmfnfm.b	|- ( ph -> B e. ( fBas ` Y ) )
fmfnfm.l	|- ( ph -> L e. ( Fil ` X ) )
fmfnfm.f	|- ( ph -> F : Y --> X )
fmfnfm.fm	|- ( ph -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ L )

Assertion

Ref	Expression
fmfnfm	|- ( ph -> E. f e. ( Fil ` Y ) ( B C_ f /\ L = ( ( X FilMap F ) ` f ) ) )

Distinct variable groups:   B, f   f, F   f, L   f, X   f, Y

Allowed substitution hint:   ph( f)

Proof of Theorem fmfnfm

Dummy variables s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmfnfm.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( fBas ` Y ) )
2		fbsspw 21636	. . . . . 6 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> B C_ ~P Y )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ~P Y )
4		elfvdm 6220	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> Y e. dom fBas )
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. dom fBas )
6		fmfnfm.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. ( Fil ` X ) )
7		fmfnfm.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : Y --> X )
8		fmfnfm.fm	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ L )
9		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : Y --> X -> F Fn Y )
10		dffn4 6121	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn Y <-> F : Y -onto-> ran F )
11	9, 10	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( F : Y --> X -> F : Y -onto-> ran F )
12		foima 6120	. . . . . . . . . 10 |- ( F : Y -onto-> ran F -> ( F " Y ) = ran F )
13	7, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F " Y ) = ran F )
14		filtop 21659	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> X e. L )
15	6, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. L )
16		fgcl 21682	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( Y filGen B ) e. ( Fil ` Y ) )
17		filtop 21659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y filGen B ) e. ( Fil ` Y ) -> Y e. ( Y filGen B ) )
18	1, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. ( Y filGen B ) )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y filGen B ) = ( Y filGen B )
20	19	imaelfm 21755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. L /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ Y e. ( Y filGen B ) ) -> ( F " Y ) e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
21	15, 1, 7, 18, 20	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F " Y ) e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
22	13, 21	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
23	8, 22	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran F e. L )
24		rnelfmlem 21756	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. dom fBas /\ L e. ( Fil ` X ) /\ F : Y --> X ) /\ ran F e. L ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) )
25	5, 6, 7, 23, 24	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) )
26		fbsspw 21636	. . . . . 6 |- ( ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ~P Y )
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ~P Y )
28	3, 27	unssd 3789	. . . 4 |- ( ph -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) C_ ~P Y )
29		ssun1 3776	. . . . 5 |- B C_ ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) )
30		fbasne0 21634	. . . . . 6 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> B =/= (/) )
31	1, 30	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> B =/= (/) )
32		ssn0 3976	. . . . 5 |- ( ( B C_ ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) /\ B =/= (/) ) -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) =/= (/) )
33	29, 31, 32	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) =/= (/) )
34		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- t e. _V
35		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) = ( x e. L |-> ( `' F " x ) )
36	35	elrnmpt 5372	. . . . . . . . 9 |- ( t e. _V -> ( t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L t = ( `' F " x ) ) )
37	34, 36	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L t = ( `' F " x ) )
38		0nelfil 21653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> -. (/) e. L )
39	6, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. (/) e. L )
40	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> -. (/) e. L )
41	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> L e. ( Fil ` X ) )
42	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ L )
43	15, 1, 7	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X e. L /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( X e. L /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) )
45		ssfg 21676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> B C_ ( Y filGen B ) )
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B C_ ( Y filGen B ) )
47	46	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> s e. ( Y filGen B ) )
48	19	imaelfm 21755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. L /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ s e. ( Y filGen B ) ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
49	44, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
50	42, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( F " s ) e. L )
51	41, 50	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( F " s ) e. L ) )
52		filin 21658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( F " s ) e. L /\ x e. L ) -> ( ( F " s ) i^i x ) e. L )
53	52	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( F " s ) e. L ) /\ x e. L ) -> ( ( F " s ) i^i x ) e. L )
54	51, 53	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> ( ( F " s ) i^i x ) e. L )
55		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F " s ) i^i x ) = (/) -> ( ( ( F " s ) i^i x ) e. L <-> (/) e. L ) )
56	54, 55	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> ( ( ( F " s ) i^i x ) = (/) -> (/) e. L ) )
57	40, 56	mtod 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> -. ( ( F " s ) i^i x ) = (/) )
58		neq0 3930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( F " s ) i^i x ) = (/) <-> E. t t e. ( ( F " s ) i^i x ) )
59		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( ( F " s ) i^i x ) <-> ( t e. ( F " s ) /\ t e. x ) )
60		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : Y --> X -> Fun F )
61		fvelima 6248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun F /\ t e. ( F " s ) ) -> E. y e. s ( F ` y ) = t )
62	61	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun F -> ( t e. ( F " s ) -> E. y e. s ( F ` y ) = t ) )
63	7, 60, 62	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( t e. ( F " s ) -> E. y e. s ( F ` y ) = t ) )
64	63	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> ( t e. ( F " s ) -> E. y e. s ( F ` y ) = t ) )
65	7, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> Fun F )
66	65	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) /\ y e. s ) -> Fun F )
67		fbelss 21637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ s e. B ) -> s C_ Y )
68	1, 67	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> s C_ Y )
69		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( F : Y --> X -> dom F = Y )
70	7, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> dom F = Y )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> dom F = Y )
72	68, 71	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> s C_ dom F )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> s C_ dom F )
74	73	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) /\ y e. s ) -> y e. dom F )
75		fvimacnv 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( ( F ` y ) e. x <-> y e. ( `' F " x ) ) )
76	66, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) /\ y e. s ) -> ( ( F ` y ) e. x <-> y e. ( `' F " x ) ) )
77		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. s /\ y e. ( `' F " x ) ) -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) )
78	77	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. s -> ( y e. ( `' F " x ) -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) )
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) /\ y e. s ) -> ( y e. ( `' F " x ) -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) )
80	76, 79	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) /\ y e. s ) -> ( ( F ` y ) e. x -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) )
81		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` y ) = t -> ( ( F ` y ) e. x <-> t e. x ) )
82	81	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` y ) = t -> ( ( ( F ` y ) e. x -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) <-> ( t e. x -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) ) )
83	80, 82	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) /\ y e. s ) -> ( ( F ` y ) = t -> ( t e. x -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) ) )
84	83	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> ( E. y e. s ( F ` y ) = t -> ( t e. x -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) ) )
85	64, 84	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> ( t e. ( F " s ) -> ( t e. x -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) ) )
86	85	impd 447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> ( ( t e. ( F " s ) /\ t e. x ) -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) )
87	59, 86	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> ( t e. ( ( F " s ) i^i x ) -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) )
88	87	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> ( E. t t e. ( ( F " s ) i^i x ) -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) )
89	58, 88	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> ( -. ( ( F " s ) i^i x ) = (/) -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) )
90	57, 89	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) )
91		ineq2 3808	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( `' F " x ) -> ( s i^i t ) = ( s i^i ( `' F " x ) ) )
92	91	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( `' F " x ) -> ( ( s i^i t ) =/= (/) <-> ( s i^i ( `' F " x ) ) =/= (/) ) )
93	90, 92	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. B ) /\ x e. L ) -> ( t = ( `' F " x ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) )
94	93	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( E. x e. L t = ( `' F " x ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) )
95	37, 94	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) )
96	95	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( s e. B /\ t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) -> ( s i^i t ) =/= (/) ) )
97	96	ralrimivv 2970	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. B A. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( s i^i t ) =/= (/) )
98		fbunfip 21673	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) <-> A. s e. B A. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( s i^i t ) =/= (/) ) )
99	1, 25, 98	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. (/) e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) <-> A. s e. B A. t e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ( s i^i t ) =/= (/) ) )
100	97, 99	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> -. (/) e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
101		fsubbas 21671	. . . . 5 |- ( Y e. dom fBas -> ( ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) e. ( fBas ` Y ) <-> ( ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) C_ ~P Y /\ ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
102	1, 4, 101	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) e. ( fBas ` Y ) <-> ( ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) C_ ~P Y /\ ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
103	28, 33, 100, 102	mpbir3and 1245	. . 3 |- ( ph -> ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) e. ( fBas ` Y ) )
104		fgcl 21682	. . 3 |- ( ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) e. ( fBas ` Y ) -> ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) e. ( Fil ` Y ) )
105	103, 104	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) e. ( Fil ` Y ) )
106		unexg 6959	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. ( fBas ` Y ) ) -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. _V )
107	1, 25, 106	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. _V )
108		ssfii 8325	. . . . 5 |- ( ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. _V -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) C_ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
109	107, 108	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) C_ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
110	109	unssad 3790	. . 3 |- ( ph -> B C_ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
111		ssfg 21676	. . . 4 |- ( ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) e. ( fBas ` Y ) -> ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) C_ ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) )
112	103, 111	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) C_ ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) )
113	110, 112	sstrd 3613	. 2 |- ( ph -> B C_ ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) )
114	1, 6, 7, 8	fmfnfmlem4 21761	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. L <-> ( t C_ X /\ E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )
115		elfm 21751	. . . . . 6 |- ( ( X e. L /\ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( t e. ( ( X FilMap F ) ` ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )
116	15, 103, 7, 115	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. ( ( X FilMap F ) ` ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )
117	114, 116	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. L <-> t e. ( ( X FilMap F ) ` ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
118	117	eqrdv 2620	. . 3 |- ( ph -> L = ( ( X FilMap F ) ` ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) )
119		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) = ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
120	119	fmfg 21753	. . . 4 |- ( ( X e. L /\ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) = ( ( X FilMap F ) ` ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
121	15, 103, 7, 120	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( X FilMap F ) ` ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) = ( ( X FilMap F ) ` ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
122	118, 121	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> L = ( ( X FilMap F ) ` ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
123		sseq2 3627	. . . 4 |- ( f = ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) -> ( B C_ f <-> B C_ ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
124		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( f = ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` f ) = ( ( X FilMap F ) ` ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
125	124	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( f = ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) -> ( L = ( ( X FilMap F ) ` f ) <-> L = ( ( X FilMap F ) ` ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) ) ) )
126	123, 125	anbi12d 747	. . 3 |- ( f = ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) -> ( ( B C_ f /\ L = ( ( X FilMap F ) ` f ) ) <-> ( B C_ ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) /\ L = ( ( X FilMap F ) ` ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) ) ) ) )
127	126	rspcev 3309	. 2 |- ( ( ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) e. ( Fil ` Y ) /\ ( B C_ ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) /\ L = ( ( X FilMap F ) ` ( Y filGen ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) ) ) ) -> E. f e. ( Fil ` Y ) ( B C_ f /\ L = ( ( X FilMap F ) ` f ) ) )
128	105, 113, 122, 127	syl12anc 1324	1 |- ( ph -> E. f e. ( Fil ` Y ) ( B C_ f /\ L = ( ( X FilMap F ) ` f ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ficfi 8316   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649   FilMap cfm 21737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-fm 21742

This theorem is referenced by:  fmufil  21763  cnpfcf  21845