Theorem filtop 21659

Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filtop	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )

Proof of Theorem filtop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 21652	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
2		fbasne0 21634	. . 3 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F =/= (/) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F =/= (/) )
4		n0 3931	. . 3 |- ( F =/= (/) <-> E. x x e. F )
5		filelss 21656	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x e. F ) -> x C_ X )
6		ssid 3624	. . . . . . 7 |- X C_ X
7		filss 21657	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( x e. F /\ X C_ X /\ x C_ X ) ) -> X e. F )
8	7	3exp2 1285	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( x e. F -> ( X C_ X -> ( x C_ X -> X e. F ) ) ) )
9	8	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x e. F ) -> ( X C_ X -> ( x C_ X -> X e. F ) ) )
10	6, 9	mpi 20	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x e. F ) -> ( x C_ X -> X e. F ) )
11	5, 10	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x e. F ) -> X e. F )
12	11	ex 450	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( x e. F -> X e. F ) )
13	12	exlimdv 1861	. . 3 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( E. x x e. F -> X e. F ) )
14	4, 13	syl5bi 232	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F =/= (/) -> X e. F ) )
15	3, 14	mpd 15	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888   fBascfbas 19734   Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-fbas 19743  df-fil 21650

This theorem is referenced by:  isfil2  21660  filn0  21666  infil  21667  filunibas  21685  filuni  21689  trfil1  21690  trfil2  21691  fgtr  21694  trfg  21695  isufil2  21712  filssufil  21716  ssufl  21722  ufileu  21723  filufint  21724  uffixfr  21727  cfinufil  21732  rnelfmlem  21756  rnelfm  21757  fmfnfmlem1  21758  fmfnfmlem2  21759  fmfnfmlem4  21761  fmfnfm  21762  flfval  21794  fclsfnflim  21831  flimfnfcls  21832  fcfval  21837  alexsublem  21848  metust  22363  cmetss  23113  minveclem4a  23201  filnetlem3  32375  filnetlem4  32376