Theorem fmptpr 6438

Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptpr.1	|- ( ph -> A e. V )
fmptpr.2	|- ( ph -> B e. W )
fmptpr.3	|- ( ph -> C e. X )
fmptpr.4	|- ( ph -> D e. Y )
fmptpr.5	|- ( ( ph /\ x = A ) -> E = C )
fmptpr.6	|- ( ( ph /\ x = B ) -> E = D )

Assertion

Ref	Expression
fmptpr	|- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( x e. { A , B } |-> E ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, D   ph, x

Allowed substitution hints:   E( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)

Proof of Theorem fmptpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4180	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
3		fmptpr.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> E = C )
4		fmptpr.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
5		fmptpr.3	. . . 4 |- ( ph -> C e. X )
6	3, 4, 5	fmptsnd 6435	. . 3 |- ( ph -> { <. A , C >. } = ( x e. { A } |-> E ) )
7	6	uneq1d 3766	. 2 |- ( ph -> ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ( x e. { A } |-> E ) u. { <. B , D >. } ) )
8		fmptpr.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
9		elex 3212	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
11		fmptpr.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. Y )
12		elex 3212	. . . 4 |- ( D e. Y -> D e. _V )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
14		df-pr 4180	. . . . 5 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
15	14	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( { A } u. { B } ) = { A , B }
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( { A } u. { B } ) = { A , B } )
17		fmptpr.6	. . 3 |- ( ( ph /\ x = B ) -> E = D )
18	10, 13, 16, 17	fmptapd 6437	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. { A } |-> E ) u. { <. B , D >. } ) = ( x e. { A , B } |-> E ) )
19	2, 7, 18	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( x e. { A , B } |-> E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   |-> cmpt 4729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-mpt 4730

This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  17908  esumsnf  30126  sge0sn  40596  zlmodzxzscm  42135  zlmodzxzadd  42136