Theorem zlmodzxzscm 42135

Description: The scalar multiplication of the ZZ-module ZZ X. ZZ. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzscm.t	|- .xb = ( .s ` Z )

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzscm	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A .xb { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ) = { <. 0 , ( A x. B ) >. , <. 1 , ( A x. C ) >. } )

Proof of Theorem zlmodzxzscm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4909	. . . 4 |- { 0 , 1 } e. _V
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
3		fnconstg 6093	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( { 0 , 1 } X. { A } ) Fn { 0 , 1 } )
4	3	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( { 0 , 1 } X. { A } ) Fn { 0 , 1 } )
5		c0ex 10034	. . . . . 6 |- 0 e. _V
6		1ex 10035	. . . . . 6 |- 1 e. _V
7	5, 6	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
8	7	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) )
9		3simpc 1060	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) )
10		0ne1 11088	. . . . 5 |- 0 =/= 1
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> 0 =/= 1 )
12		fnprg 5947	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } Fn { 0 , 1 } )
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } Fn { 0 , 1 } )
14	2, 4, 13	offvalfv 42121	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) oF ( .r ` ℤring ) { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ) = ( x e. { 0 , 1 } |-> ( ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` x ) ( .r ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` x ) ) ) )
15		zlmodzxz.z	. . 3 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
16		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
17		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` ℤring ) = ( Base ` ℤring )
18		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> A e. ZZ )
19		zringbas 19824	. . . 4 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
20	18, 19	syl6eleq 2711	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> A e. ( Base ` ℤring ) )
21	15	zlmodzxzel 42133	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } e. ( Base ` Z ) )
22	21	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } e. ( Base ` Z ) )
23		zlmodzxzscm.t	. . 3 |- .xb = ( .s ` Z )
24		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` ℤring ) = ( .r ` ℤring )
25	15, 16, 17, 2, 20, 22, 23, 24	frlmvscafval 20109	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A .xb { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ) = ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) oF ( .r ` ℤring ) { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ) )
26	5	a1i 11	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> 0 e. _V )
27	6	a1i 11	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> 1 e. _V )
28		ovexd 6680	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. _V )
29		ovexd 6680	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A x. C ) e. _V )
30		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` x ) = ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` 0 ) )
31		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` x ) = ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` 0 ) )
32	30, 31	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` x ) ( .r ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` x ) ) = ( ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` 0 ) ( .r ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` 0 ) ) )
33		zringmulr 19827	. . . . . . 7 |- x. = ( .r ` ℤring )
34	33	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( .r ` ℤring ) = x.
35	34	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( .r ` ℤring ) = x. )
36	5	prid1 4297	. . . . . 6 |- 0 e. { 0 , 1 }
37		fvconst2g 6467	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. { 0 , 1 } ) -> ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` 0 ) = A )
38	18, 36, 37	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` 0 ) = A )
39		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> B e. ZZ )
40		fvpr1g 6458	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. _V /\ B e. ZZ /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` 0 ) = B )
41	26, 39, 11, 40	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` 0 ) = B )
42	35, 38, 41	oveq123d 6671	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` 0 ) ( .r ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` 0 ) ) = ( A x. B ) )
43	32, 42	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ x = 0 ) -> ( ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` x ) ( .r ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` x ) ) = ( A x. B ) )
44		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` x ) = ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` 1 ) )
45		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` x ) = ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` 1 ) )
46	44, 45	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` x ) ( .r ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` x ) ) = ( ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` 1 ) ( .r ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` 1 ) ) )
47	6	prid2 4298	. . . . . 6 |- 1 e. { 0 , 1 }
48		fvconst2g 6467	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ 1 e. { 0 , 1 } ) -> ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` 1 ) = A )
49	18, 47, 48	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` 1 ) = A )
50		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> C e. ZZ )
51		fvpr2g 6459	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. _V /\ C e. ZZ /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` 1 ) = C )
52	27, 50, 11, 51	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` 1 ) = C )
53	35, 49, 52	oveq123d 6671	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` 1 ) ( .r ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` 1 ) ) = ( A x. C ) )
54	46, 53	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ x = 1 ) -> ( ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` x ) ( .r ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` x ) ) = ( A x. C ) )
55	26, 27, 28, 29, 43, 54	fmptpr 6438	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> { <. 0 , ( A x. B ) >. , <. 1 , ( A x. C ) >. } = ( x e. { 0 , 1 } |-> ( ( ( { 0 , 1 } X. { A } ) ` x ) ( .r ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ` x ) ) ) )
56	14, 25, 55	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A .xb { <. 0 , B >. , <. 1 , C >. } ) = { <. 0 , ( A x. B ) >. , <. 1 , ( A x. C ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   ZZcz 11377   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945  ℤ_ringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  42285  zlmodzxznm  42286  zlmodzxzequap  42288