Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzadd Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem zlmodzxzadd 42136
Description: The addition of the ZZ-module ZZ X. ZZ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzadd.p |- .+ = ( +g ` Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzadd |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } .+ { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = { <. 0 , ( A + B ) >. , <. 1 , ( C + D ) >. } )
Proof of Theorem zlmodzxzadd
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxz.z . . 3 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
2 eqid 2622 . . 3 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
3 zringring 19821 . . . 4 |- ℤring e. Ring
43a1i 11 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ℤring e. Ring )
5 prex 4909 . . . 4 |- { 0 , 1 } e. _V
65a1i 11 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
7 simpl 473 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
8 simpl 473 . . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
91zlmodzxzel 42133 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } e. ( Base ` Z ) )
107, 8, 9syl2an 494 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } e. ( Base ` Z ) )
11 simpr 477 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
12 simpr 477 . . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
131zlmodzxzel 42133 . . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } e. ( Base ` Z ) )
1411, 12, 13syl2an 494 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } e. ( Base ` Z ) )
15 eqid 2622 . . 3 |- ( +g ` ℤring ) = ( +g ` ℤring )
16 zlmodzxzadd.p . . 3 |- .+ = ( +g ` Z )
171, 2, 4, 6, 10, 14, 15, 16frlmplusgval 20107 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } .+ { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } oF ( +g ` ℤring ) { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) )
18 c0ex 10034 . . . . . 6 |- 0 e. _V
19 1ex 10035 . . . . . 6 |- 1 e. _V
2018, 19pm3.2i 471 . . . . 5 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
2120a1i 11 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) )
227, 8anim12i 590 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) )
23 0ne1 11088 . . . . 5 |- 0 =/= 1
2423a1i 11 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> 0 =/= 1 )
25 fnprg 5947 . . . 4 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } Fn { 0 , 1 } )
2621, 22, 24, 25syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } Fn { 0 , 1 } )
2711, 12anim12i 590 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( B e. ZZ /\ D e. ZZ ) )
28 fnprg 5947 . . . 4 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( B e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } Fn { 0 , 1 } )
2921, 27, 24, 28syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } Fn { 0 , 1 } )
306, 26, 29offvalfv 42121 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } oF ( +g ` ℤring ) { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = ( x e. { 0 , 1 } |-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` x ) ( +g ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` x ) ) ) )
31 zringplusg 19825 . . . . . . 7 |- + = ( +g ` ℤring )
3231eqcomi 2631 . . . . . 6 |- ( +g ` ℤring ) = +
3332oveqi 6663 . . . . 5 |- ( A ( +g ` ℤring ) B ) = ( A + B )
3433opeq2i 4406 . . . 4 |- <. 0 , ( A ( +g ` ℤring ) B ) >. = <. 0 , ( A + B ) >.
3532oveqi 6663 . . . . 5 |- ( C ( +g ` ℤring ) D ) = ( C + D )
3635opeq2i 4406 . . . 4 |- <. 1 , ( C ( +g ` ℤring ) D ) >. = <. 1 , ( C + D ) >.
3734, 36preq12i 4273 . . 3 |- { <. 0 , ( A ( +g ` ℤring ) B ) >. , <. 1 , ( C ( +g ` ℤring ) D ) >. } = { <. 0 , ( A + B ) >. , <. 1 , ( C + D ) >. }
3818a1i 11 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> 0 e. _V )
3919a1i 11 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> 1 e. _V )
40 ovexd 6680 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A ( +g ` ℤring ) B ) e. _V )
41 ovexd 6680 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( C ( +g ` ℤring ) D ) e. _V )
42 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` x ) = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` 0 ) )
43 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` x ) = ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` 0 ) )
4442, 43oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` x ) ( +g ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` x ) ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` 0 ) ( +g ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` 0 ) ) )
457adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
46 fvpr1g 6458 . . . . . . 7 |- ( ( 0 e. _V /\ A e. ZZ /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` 0 ) = A )
4738, 45, 24, 46syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` 0 ) = A )
4811adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
49 fvpr1g 6458 . . . . . . 7 |- ( ( 0 e. _V /\ B e. ZZ /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` 0 ) = B )
5038, 48, 24, 49syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` 0 ) = B )
5147, 50oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` 0 ) ( +g ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` 0 ) ) = ( A ( +g ` ℤring ) B ) )
5244, 51sylan9eqr 2678 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ x = 0 ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` x ) ( +g ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` x ) ) = ( A ( +g ` ℤring ) B ) )
53 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` x ) = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` 1 ) )
54 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` x ) = ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` 1 ) )
5553, 54oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` x ) ( +g ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` x ) ) = ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` 1 ) ( +g ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` 1 ) ) )
568adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> C e. ZZ )
57 fvpr2g 6459 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. _V /\ C e. ZZ /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` 1 ) = C )
5839, 56, 24, 57syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` 1 ) = C )
5912adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> D e. ZZ )
60 fvpr2g 6459 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. _V /\ D e. ZZ /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` 1 ) = D )
6139, 59, 24, 60syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` 1 ) = D )
6258, 61oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` 1 ) ( +g ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` 1 ) ) = ( C ( +g ` ℤring ) D ) )
6355, 62sylan9eqr 2678 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ x = 1 ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` x ) ( +g ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` x ) ) = ( C ( +g ` ℤring ) D ) )
6438, 39, 40, 41, 52, 63fmptpr 6438 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> { <. 0 , ( A ( +g ` ℤring ) B ) >. , <. 1 , ( C ( +g ` ℤring ) D ) >. } = ( x e. { 0 , 1 } |-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` x ) ( +g ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` x ) ) ) )
6537, 64syl5reqr 2671 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( x e. { 0 , 1 } |-> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ` x ) ( +g ` ℤring ) ( { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ` x ) ) ) = { <. 0 , ( A + B ) >. , <. 1 , ( C + D ) >. } )
6617, 30, 653eqtrd 2660 1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } .+ { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = { <. 0 , ( A + B ) >. , <. 1 , ( C + D ) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   {cpr 4179   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   ZZcz 11377   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Ringcrg 18547  ℤringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-dsmm 20076  df-frlm 20091
This theorem is referenced by:  zlmodzxzsub  42138  zlmodzxzequap  42288
  Copyright terms: Public domain W3C validator