Theorem pmtrprfvalrn 17908

Description: The range of the transpositions on a pair is actually a singleton: the transposition of the two elements of the pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfvalrn	|- ran (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = { { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } }

Proof of Theorem pmtrprfvalrn

Dummy variables t p z s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrprfval 17907	. . 3 |- (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
2	1	rneqi 5352	. 2 |- ran (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = ran ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) ) = ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
4	3	rnmpt 5371	. . 3 |- ran ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) ) = { t | E. p e. { { 1 , 2 } } t = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) }
5		1ex 10035	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
6		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. _V -> 1 e. _V )
7		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. _V -> 2 e. NN )
9		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. _V /\ z = 1 ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 2 )
11		1ne2 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 =/= 2
12	11	nesymi 2851	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 2 = 1
13		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = 2 -> ( z = 1 <-> 2 = 1 ) )
14	12, 13	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = 2 -> -. z = 1 )
15	14	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 2 -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. _V /\ z = 2 ) -> if ( z = 1 , 2 , 1 ) = 1 )
17	6, 8, 8, 6, 10, 16	fmptpr 6438	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. _V -> { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
18	17	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. _V -> ( t = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } <-> t = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) ) )
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( t = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } <-> t = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) )
20	19	bicomi 214	. . . . . 6 |- ( t = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) <-> t = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } )
21	20	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. p e. { { 1 , 2 } } t = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) <-> E. p e. { { 1 , 2 } } t = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } )
22	21	abbii 2739	. . . 4 |- { t | E. p e. { { 1 , 2 } } t = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) } = { t | E. p e. { { 1 , 2 } } t = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } }
23		prex 4909	. . . . . . . 8 |- { 1 , 2 } e. _V
24	23	snnz 4309	. . . . . . 7 |- { { 1 , 2 } } =/= (/)
25		r19.9rzv 4065	. . . . . . . 8 |- ( { { 1 , 2 } } =/= (/) -> ( s = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } <-> E. p e. { { 1 , 2 } } s = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
26	25	bicomd 213	. . . . . . 7 |- ( { { 1 , 2 } } =/= (/) -> ( E. p e. { { 1 , 2 } } s = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } <-> s = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( E. p e. { { 1 , 2 } } s = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } <-> s = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } )
28		vex 3203	. . . . . . 7 |- s e. _V
29		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( t = s -> ( t = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } <-> s = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
30	29	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( t = s -> ( E. p e. { { 1 , 2 } } t = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } <-> E. p e. { { 1 , 2 } } s = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
31	28, 30	elab 3350	. . . . . 6 |- ( s e. { t | E. p e. { { 1 , 2 } } t = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } <-> E. p e. { { 1 , 2 } } s = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } )
32		velsn 4193	. . . . . 6 |- ( s e. { { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } <-> s = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } )
33	27, 31, 32	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( s e. { t | E. p e. { { 1 , 2 } } t = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } <-> s e. { { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } )
34	33	eqriv 2619	. . . 4 |- { t | E. p e. { { 1 , 2 } } t = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } = { { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } }
35	22, 34	eqtri 2644	. . 3 |- { t | E. p e. { { 1 , 2 } } t = ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) } = { { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } }
36	4, 35	eqtri 2644	. 2 |- ran ( p e. { { 1 , 2 } } |-> ( z e. { 1 , 2 } |-> if ( z = 1 , 2 , 1 ) ) ) = { { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } }
37	2, 36	eqtri 2644	1 |- ran (pmTrsp ` { 1 , 2 } ) = { { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } }

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888   1c1 9937   NNcn 11020   2c2 11070  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  psgnprfval2  17943