Theorem fnejoin2 32364

Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnejoin2	|- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, S   x, V   x, X, y   x, T

Allowed substitution hints:   T( y)   V( y)

Proof of Theorem fnejoin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unisng 4452	. . . . . . . . 9 |- ( X e. V -> U. { X } = X )
2	1	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> X = U. { X } )
3	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. { X } )
4		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( S = (/) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) = { X } )
5	4	unieqd 4446	. . . . . . . 8 |- ( S = (/) -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. { X } )
6	5	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( S = (/) -> ( X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) <-> X = U. { X } ) )
7	3, 6	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S = (/) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
8		n0 3931	. . . . . . 7 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
9		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> U. y = U. x )
10	9	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( X = U. y <-> X = U. x ) )
11	10	rspccva 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
12	11	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
13		fnejoin1 32363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. x = U. x
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. if ( S = (/) , { X } , U. S )
16	14, 15	fnebas 32339	. . . . . . . . . . 11 |- ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> U. x = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
17	13, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> U. x = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
18	12, 17	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
19	18	3expia 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( x e. S -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
20	19	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( E. x x e. S -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
21	8, 20	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S =/= (/) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
22	7, 21	pm2.61dne 2880	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
23		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. T = U. T
24	15, 23	fnebas 32339	. . . . 5 |- ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T )
25	22, 24	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) -> X = U. T )
26	25	ex 450	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> X = U. T ) )
27		fnetr 32346	. . . . . . 7 |- ( ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) -> x Fne T )
28	27	ex 450	. . . . . 6 |- ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
29	13, 28	syl 17	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
30	29	3expa 1265	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ x e. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
31	30	ralrimdva 2969	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> A. x e. S x Fne T ) )
32	26, 31	jcad 555	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )
33	22	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
34		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X = U. T )
35	33, 34	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T )
36		sseq1 3626	. . . . 5 |- ( { X } = if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( { X } C_ ( topGen ` T ) <-> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
37		sseq1 3626	. . . . 5 |- ( U. S = if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( U. S C_ ( topGen ` T ) <-> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
38		elex 3212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. V -> X e. _V )
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X e. _V )
40	34, 39	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. T e. _V )
41		uniexb 6973	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. _V <-> U. T e. _V )
42	40, 41	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> T e. _V )
43		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- T C_ T
44		eltg3i 20765	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. _V /\ T C_ T ) -> U. T e. ( topGen ` T ) )
45	42, 43, 44	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. T e. ( topGen ` T ) )
46	34, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X e. ( topGen ` T ) )
47	46	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> { X } C_ ( topGen ` T ) )
48	47	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ S = (/) ) -> { X } C_ ( topGen ` T ) )
49		simplrr 801	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> A. x e. S x Fne T )
50		fnetg 32340	. . . . . . . 8 |- ( x Fne T -> x C_ ( topGen ` T ) )
51	50	ralimi 2952	. . . . . . 7 |- ( A. x e. S x Fne T -> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
52	49, 51	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
53		unissb 4469	. . . . . 6 |- ( U. S C_ ( topGen ` T ) <-> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
54	52, 53	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> U. S C_ ( topGen ` T ) )
55	36, 37, 48, 54	ifbothda 4123	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) )
56	15, 23	isfne4 32335	. . . 4 |- ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
57	35, 55, 56	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T )
58	57	ex 450	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) )
59	32, 58	impbid 202	1 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   topGenctg 16098   Fnecfne 32331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-fne 32332

This theorem is referenced by: (None)