Theorem fnejoin1 32363

Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part one. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnejoin1	|- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> A Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, S   y, X

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem fnejoin1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4467	. . . . . 6 |- ( A e. S -> A C_ U. S )
2	1	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> A C_ U. S )
3	2	unissd 4462	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. A C_ U. U. S )
4		eqimss2 3658	. . . . . . . . . 10 |- ( X = U. y -> U. y C_ X )
5		sspwuni 4611	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ ~P X <-> U. y C_ X )
6	4, 5	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( X = U. y -> y C_ ~P X )
7	6	ralimi 2952	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. S X = U. y -> A. y e. S y C_ ~P X )
8	7	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> A. y e. S y C_ ~P X )
9		unissb 4469	. . . . . . 7 |- ( U. S C_ ~P X <-> A. y e. S y C_ ~P X )
10	8, 9	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. S C_ ~P X )
11		sspwuni 4611	. . . . . 6 |- ( U. S C_ ~P X <-> U. U. S C_ X )
12	10, 11	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. U. S C_ X )
13		unieq 4444	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> U. y = U. A )
14	13	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( X = U. y <-> X = U. A ) )
15	14	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> X = U. A )
16	15	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> X = U. A )
17	12, 16	sseqtrd 3641	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. U. S C_ U. A )
18	3, 17	eqssd 3620	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. A = U. U. S )
19		pwexg 4850	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> ~P X e. _V )
20	19	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> ~P X e. _V )
21	20, 10	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. S e. _V )
22		bastg 20770	. . . . 5 |- ( U. S e. _V -> U. S C_ ( topGen ` U. S ) )
23	21, 22	syl 17	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. S C_ ( topGen ` U. S ) )
24	2, 23	sstrd 3613	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> A C_ ( topGen ` U. S ) )
25		eqid 2622	. . . 4 |- U. A = U. A
26		eqid 2622	. . . 4 |- U. U. S = U. U. S
27	25, 26	isfne4 32335	. . 3 |- ( A Fne U. S <-> ( U. A = U. U. S /\ A C_ ( topGen ` U. S ) ) )
28	18, 24, 27	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> A Fne U. S )
29		ne0i 3921	. . . 4 |- ( A e. S -> S =/= (/) )
30	29	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> S =/= (/) )
31		ifnefalse 4098	. . 3 |- ( S =/= (/) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. S )
32	30, 31	syl 17	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. S )
33	28, 32	breqtrrd 4681	1 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> A Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   topGenctg 16098   Fnecfne 32331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-fne 32332

This theorem is referenced by:  fnejoin2  32364