Theorem fowdom 8476

Description: An onto function implies weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fowdom	|- ( ( F e. V /\ F : Y -onto-> X ) -> X ~<_* Y )

Proof of Theorem fowdom

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( F e. V -> F e. _V )
2		foeq1 6111	. . . . . 6 |- ( z = F -> ( z : Y -onto-> X <-> F : Y -onto-> X ) )
3	2	spcegv 3294	. . . . 5 |- ( F e. _V -> ( F : Y -onto-> X -> E. z z : Y -onto-> X ) )
4	3	imp 445	. . . 4 |- ( ( F e. _V /\ F : Y -onto-> X ) -> E. z z : Y -onto-> X )
5	4	olcd 408	. . 3 |- ( ( F e. _V /\ F : Y -onto-> X ) -> ( X = (/) \/ E. z z : Y -onto-> X ) )
6		fof 6115	. . . . 5 |- ( F : Y -onto-> X -> F : Y --> X )
7		dmfex 7124	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ F : Y --> X ) -> Y e. _V )
8	6, 7	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( F e. _V /\ F : Y -onto-> X ) -> Y e. _V )
9		brwdom 8472	. . . 4 |- ( Y e. _V -> ( X ~<_* Y <-> ( X = (/) \/ E. z z : Y -onto-> X ) ) )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. _V /\ F : Y -onto-> X ) -> ( X ~<_* Y <-> ( X = (/) \/ E. z z : Y -onto-> X ) ) )
11	5, 10	mpbird 247	. 2 |- ( ( F e. _V /\ F : Y -onto-> X ) -> X ~<_* Y )
12	1, 11	sylan 488	1 |- ( ( F e. V /\ F : Y -onto-> X ) -> X ~<_* Y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ~<_^* cwdom 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-wdom 8464

This theorem is referenced by:  wdomref  8477  wdomtr  8480  wdom2d  8485  wdomima2g  8491  harwdom  8495  ixpiunwdom  8496  isf32lem10  9184  fin1a2lem7  9228