Theorem ixpiunwdom 8496

Description: Describe an onto function from the indexed cartesian product to the indexed union. Together with ixpssmapg 7938 this shows that U_ x e. A B and X_ x e. A B have closely linked cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpiunwdom	|- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> U_ x e. A B ~<_* ( X_ x e. A B X. A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem ixpiunwdom

Dummy variables f g k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
2	1	elixp 7915	. . . . . . . . 9 |- ( f e. X_ x e. A B <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
3	2	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( f e. X_ x e. A B -> A. x e. A ( f ` x ) e. B )
4		ssiun2 4563	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> B C_ U_ x e. A B )
5	4	sseld 3602	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) e. U_ x e. A B ) )
6	5	ralimia 2950	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. B -> A. x e. A ( f ` x ) e. U_ x e. A B )
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. A B -> A. x e. A ( f ` x ) e. U_ x e. A B )
8		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ y ( f ` x ) e. U_ x e. A B
9		nfiu1 4550	. . . . . . . . 9 |- F/_ x U_ x e. A B
10	9	nfel2 2781	. . . . . . . 8 |- F/ x ( f ` y ) e. U_ x e. A B
11		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( f ` x ) = ( f ` y ) )
12	11	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( f ` x ) e. U_ x e. A B <-> ( f ` y ) e. U_ x e. A B ) )
13	8, 10, 12	cbvral 3167	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. U_ x e. A B <-> A. y e. A ( f ` y ) e. U_ x e. A B )
14	7, 13	sylib 208	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A B -> A. y e. A ( f ` y ) e. U_ x e. A B )
15	14	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) /\ f e. X_ x e. A B ) -> A. y e. A ( f ` y ) e. U_ x e. A B )
16	15	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> A. f e. X_ x e. A B A. y e. A ( f ` y ) e. U_ x e. A B )
17		eqid 2622	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) = ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) )
18	17	fmpt2 7237	. . . 4 |- ( A. f e. X_ x e. A B A. y e. A ( f ` y ) e. U_ x e. A B <-> ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) --> U_ x e. A B )
19	16, 18	sylib 208	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) --> U_ x e. A B )
20		ixpssmap2g 7937	. . . . . 6 |- ( U_ x e. A B e. W -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
21	20	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )
22		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( U_ x e. A B ^m A ) e. _V
23	22	ssex 4802	. . . . 5 |- ( X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) -> X_ x e. A B e. _V )
24	21, 23	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> X_ x e. A B e. _V )
25		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> A e. V )
26		xpexg 6960	. . . 4 |- ( ( X_ x e. A B e. _V /\ A e. V ) -> ( X_ x e. A B X. A ) e. _V )
27	24, 25, 26	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> ( X_ x e. A B X. A ) e. _V )
28		simp2 1062	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> U_ x e. A B e. W )
29		fex2 7121	. . 3 |- ( ( ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) --> U_ x e. A B /\ ( X_ x e. A B X. A ) e. _V /\ U_ x e. A B e. W ) -> ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) e. _V )
30	19, 27, 28, 29	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) e. _V )
31		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) --> U_ x e. A B -> ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) Fn ( X_ x e. A B X. A ) )
32	19, 31	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) Fn ( X_ x e. A B X. A ) )
33		dffn4 6121	. . . 4 |- ( ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) Fn ( X_ x e. A B X. A ) <-> ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) -onto-> ran ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) )
34	32, 33	sylib 208	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) -onto-> ran ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) )
35		n0 3931	. . . . . . . . . 10 |- ( X_ x e. A B =/= (/) <-> E. g g e. X_ x e. A B )
36		eliun 4524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. B )
37		nfixp1 7928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x X_ x e. A B
38	37	nfel2 2781	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x g e. X_ x e. A B
39		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x E. y e. A z = ( f ` y )
40	37, 39	nfrex 3007	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y )
41		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) /\ k e. A ) -> z e. B )
42		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = x -> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) = z )
43		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B )
44	43	equcoms 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = x -> B = [_ k / x ]_ B )
45	44	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = x -> [_ k / x ]_ B = B )
46	42, 45	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = x -> ( if ( k = x , z , ( g ` k ) ) e. [_ k / x ]_ B <-> z e. B ) )
47	41, 46	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) /\ k e. A ) -> ( k = x -> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) e. [_ k / x ]_ B ) )
48		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- g e. _V
49	48	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g e. X_ x e. A B <-> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
50	49	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( g e. X_ x e. A B -> A. x e. A ( g ` x ) e. B )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> A. x e. A ( g ` x ) e. B )
52		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ k ( g ` x ) e. B
53		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ x [_ k / x ]_ B
54	53	nfel2 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ x ( g ` k ) e. [_ k / x ]_ B
55		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = k -> ( g ` x ) = ( g ` k ) )
56	55, 43	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = k -> ( ( g ` x ) e. B <-> ( g ` k ) e. [_ k / x ]_ B ) )
57	52, 54, 56	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. x e. A ( g ` x ) e. B <-> A. k e. A ( g ` k ) e. [_ k / x ]_ B )
58	51, 57	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> A. k e. A ( g ` k ) e. [_ k / x ]_ B )
59	58	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) /\ k e. A ) -> ( g ` k ) e. [_ k / x ]_ B )
60		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. k = x -> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) = ( g ` k ) )
61	60	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. k = x -> ( if ( k = x , z , ( g ` k ) ) e. [_ k / x ]_ B <-> ( g ` k ) e. [_ k / x ]_ B ) )
62	59, 61	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) /\ k e. A ) -> ( -. k = x -> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) e. [_ k / x ]_ B ) )
63	47, 62	pm2.61d 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) /\ k e. A ) -> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) e. [_ k / x ]_ B )
64	63	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> A. k e. A if ( k = x , z , ( g ` k ) ) e. [_ k / x ]_ B )
65		ixpfn 7914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( g e. X_ x e. A B -> g Fn A )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> g Fn A )
67		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g Fn A -> dom g = A )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> dom g = A )
69	48	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom g e. _V
70	68, 69	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> A e. _V )
71		mptelixpg 7945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. _V -> ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) e. X_ k e. A [_ k / x ]_ B <-> A. k e. A if ( k = x , z , ( g ` k ) ) e. [_ k / x ]_ B ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) e. X_ k e. A [_ k / x ]_ B <-> A. k e. A if ( k = x , z , ( g ` k ) ) e. [_ k / x ]_ B ) )
73	64, 72	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) e. X_ k e. A [_ k / x ]_ B )
74		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k B
75	74, 53, 43	cbvixp 7925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X_ x e. A B = X_ k e. A [_ k / x ]_ B
76	73, 75	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) e. X_ x e. A B )
77		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> x e. A )
78		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) = ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) )
79		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
80	42, 78, 79	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A -> ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) ` x ) = z )
81	80	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) ` x ) = z )
82	81	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> z = ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) ` x ) )
83		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) -> ( f ` y ) = ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) ` y ) )
84	83	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) -> ( z = ( f ` y ) <-> z = ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) ` y ) ) )
85		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) ` y ) = ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) ` x ) )
86	85	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( z = ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) ` y ) <-> z = ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) ` x ) ) )
87	84, 86	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) e. X_ x e. A B /\ x e. A /\ z = ( ( k e. A |-> if ( k = x , z , ( g ` k ) ) ) ` x ) ) -> E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) )
88	76, 77, 82, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. X_ x e. A B /\ ( x e. A /\ z e. B ) ) -> E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) )
89	88	exp32 631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. X_ x e. A B -> ( x e. A -> ( z e. B -> E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) ) ) )
90	38, 40, 89	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. X_ x e. A B -> ( E. x e. A z e. B -> E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) ) )
91	36, 90	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. X_ x e. A B -> ( z e. U_ x e. A B -> E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) ) )
92	91	exlimiv 1858	. . . . . . . . . 10 |- ( E. g g e. X_ x e. A B -> ( z e. U_ x e. A B -> E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) ) )
93	35, 92	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( X_ x e. A B =/= (/) -> ( z e. U_ x e. A B -> E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) ) )
94	93	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> ( z e. U_ x e. A B -> E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) ) )
95	94	alrimiv 1855	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> A. z ( z e. U_ x e. A B -> E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) ) )
96		ssab 3672	. . . . . . 7 |- ( U_ x e. A B C_ { z | E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) } <-> A. z ( z e. U_ x e. A B -> E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) ) )
97	95, 96	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> U_ x e. A B C_ { z | E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) } )
98	17	rnmpt2 6770	. . . . . 6 |- ran ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) = { z | E. f e. X_ x e. A B E. y e. A z = ( f ` y ) }
99	97, 98	syl6sseqr 3652	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> U_ x e. A B C_ ran ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) )
100		frn 6053	. . . . . 6 |- ( ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) --> U_ x e. A B -> ran ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) C_ U_ x e. A B )
101	19, 100	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> ran ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) C_ U_ x e. A B )
102	99, 101	eqssd 3620	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> U_ x e. A B = ran ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) )
103		foeq3 6113	. . . 4 |- ( U_ x e. A B = ran ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) -> ( ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) -onto-> U_ x e. A B <-> ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) -onto-> ran ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) ) )
104	102, 103	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> ( ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) -onto-> U_ x e. A B <-> ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) -onto-> ran ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) ) )
105	34, 104	mpbird 247	. 2 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) -onto-> U_ x e. A B )
106		fowdom 8476	. 2 |- ( ( ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) e. _V /\ ( f e. X_ x e. A B , y e. A |-> ( f ` y ) ) : ( X_ x e. A B X. A ) -onto-> U_ x e. A B ) -> U_ x e. A B ~<_* ( X_ x e. A B X. A ) )
107	30, 105, 106	syl2anc 693	1 |- ( ( A e. V /\ U_ x e. A B e. W /\ X_ x e. A B =/= (/) ) -> U_ x e. A B ~<_* ( X_ x e. A B X. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   ~<_^* cwdom 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-ixp 7909  df-wdom 8464

This theorem is referenced by:  ptcmplem2  21857