Theorem fun11iun 7126

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fun11iun.1	|- ( x = y -> B = C )
fun11iun.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fun11iun	|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   y, B   x, C   x, S

Allowed substitution hints:   B( x)   C( y)   D( x, y)   S( y)

Proof of Theorem fun11iun

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
2		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> ( z = B <-> u = B ) )
3	2	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A u = B ) )
4	1, 3	elab 3350	. . . . . . . . 9 |- ( u e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A u = B )
5		r19.29 3072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> E. x e. A ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) )
6		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( Fun u /\ Fun `' u )
7		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x E. x e. A z = B
8	7	nfab 2769	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x { z | E. x e. A z = B }
9		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( u C_ v \/ v C_ u )
10	8, 9	nfral 2945	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u )
11	6, 10	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
12		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = B -> ( u : D -1-1-> S <-> B : D -1-1-> S ) )
13	12	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ u = B ) -> u : D -1-1-> S )
14		df-f1 5893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u : D -1-1-> S <-> ( u : D --> S /\ Fun `' u ) )
15		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u : D --> S -> Fun u )
16	15	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u : D --> S /\ Fun `' u ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
17	14, 16	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u : D -1-1-> S -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ u = B ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
19	18	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
20		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- v e. _V
21		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = v -> ( z = B <-> v = B ) )
22	21	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = v -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A v = B ) )
23	20, 22	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A v = B )
24		fun11iun.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> B = C )
25	24	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( v = B <-> v = C ) )
26	25	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. x e. A v = B <-> E. y e. A v = C )
27		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ E. y e. A v = C ) -> E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) )
28		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u = B /\ v = C ) -> ( u C_ v <-> B C_ C ) )
29	28	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( u C_ v <-> B C_ C ) )
30		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( v C_ u <-> C C_ B ) )
31	29, 30	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( ( u C_ v \/ v C_ u ) <-> ( B C_ C \/ C C_ B ) ) )
32	31	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B C_ C \/ C C_ B ) -> ( ( v = C /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
33	32	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) -> ( u = B -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
34	33	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) -> ( u = B -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
35	34	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
36	27, 35	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ E. y e. A v = C ) /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
37	36	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ u = B ) /\ E. y e. A v = C ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
38	37	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ E. y e. A v = C ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
39	26, 38	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ E. x e. A v = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
40	23, 39	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ v e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
41	40	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
42	19, 41	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) )
44	11, 43	rexlimi 3024	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. A ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
45	5, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
46	4, 45	sylan2b 492	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
47	46	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
48		fun11uni 7120	. . . . . . 7 |- ( A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) -> ( Fun U. { z | E. x e. A z = B } /\ Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( Fun U. { z | E. x e. A z = B } /\ Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) )
50	49	simpld 475	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
51		fun11iun.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
52	51	dfiun2 4554	. . . . . 6 |- U_ x e. A B = U. { z | E. x e. A z = B }
53	52	funeqi 5909	. . . . 5 |- ( Fun U_ x e. A B <-> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
54	50, 53	sylibr 224	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U_ x e. A B )
55		nfra1 2941	. . . . . . 7 |- F/ x A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) )
56		rsp 2929	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( x e. A -> ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) ) )
57	1	eldm2 5322	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. dom B <-> E. v <. u , v >. e. B )
58		f1dm 6105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B : D -1-1-> S -> dom B = D )
59	58	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( B : D -1-1-> S -> ( u e. dom B <-> u e. D ) )
60	57, 59	syl5bbr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( B : D -1-1-> S -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
62	56, 61	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( x e. A -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) ) )
63	62	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
64	55, 63	rexbida 3047	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. x e. A u e. D ) )
65		eliun 4524	. . . . . . . 8 |- ( <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. u , v >. e. B )
66	65	exbii 1774	. . . . . . 7 |- ( E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
67	1	eldm2 5322	. . . . . . 7 |- ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B )
68		rexcom4 3225	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
69	66, 67, 68	3bitr4i 292	. . . . . 6 |- ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. x e. A E. v <. u , v >. e. B )
70		eliun 4524	. . . . . 6 |- ( u e. U_ x e. A D <-> E. x e. A u e. D )
71	64, 69, 70	3bitr4g 303	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( u e. dom U_ x e. A B <-> u e. U_ x e. A D ) )
72	71	eqrdv 2620	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> dom U_ x e. A B = U_ x e. A D )
73		df-fn 5891	. . . 4 |- ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D <-> ( Fun U_ x e. A B /\ dom U_ x e. A B = U_ x e. A D ) )
74	54, 72, 73	sylanbrc 698	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B Fn U_ x e. A D )
75		rniun 5543	. . . 4 |- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B
76		f1f 6101	. . . . . . . 8 |- ( B : D -1-1-> S -> B : D --> S )
77		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( B : D --> S -> ran B C_ S )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . 7 |- ( B : D -1-1-> S -> ran B C_ S )
79	78	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran B C_ S )
80	79	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. x e. A ran B C_ S )
81		iunss 4561	. . . . 5 |- ( U_ x e. A ran B C_ S <-> A. x e. A ran B C_ S )
82	80, 81	sylibr 224	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A ran B C_ S )
83	75, 82	syl5eqss 3649	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran U_ x e. A B C_ S )
84		df-f 5892	. . 3 |- ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S <-> ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D /\ ran U_ x e. A B C_ S ) )
85	74, 83, 84	sylanbrc 698	. 2 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S )
86	49	simprd 479	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } )
87	52	cnveqi 5297	. . . 4 |- `' U_ x e. A B = `' U. { z | E. x e. A z = B }
88	87	funeqi 5909	. . 3 |- ( Fun `' U_ x e. A B <-> Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } )
89	86, 88	sylibr 224	. 2 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun `' U_ x e. A B )
90		df-f1 5893	. 2 |- ( U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S <-> ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S /\ Fun `' U_ x e. A B ) )
91	85, 89, 90	sylanbrc 698	1 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893

This theorem is referenced by:  ackbij2  9065