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Theorem ackbij2 9065

Description: The Ackermann bijection, part 2: hereditarily finite sets can be represented by recursive binary notation. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ackbij.f
ackbij.g
ackbij.h

**Assertion**
Ref	Expression
ackbij2

Distinct variable groups:

Proof of Theorem ackbij2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . 6
2		fvex 6201	. . . . . 6
3	1, 2	fun11iun 7126	. . . . 5 $/\$ $\/$
4		ackbij.f	. . . . . . . . 9
5		ackbij.g	. . . . . . . . 9
6	4, 5	ackbij2lem2 9062	. . . . . . . 8
7		f1of1 6136	. . . . . . . 8
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7
9		ordom 7074	. . . . . . . 8
10		r1fin 8636	. . . . . . . . 9
11		ficardom 8787	. . . . . . . . 9
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8
13		ordelss 5739	. . . . . . . 8 $/\$
14	9, 12, 13	sylancr 695	. . . . . . 7
15		f1ss 6106	. . . . . . 7 $/\$
16	8, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . 6
17		nnord 7073	. . . . . . . . 9
18		nnord 7073	. . . . . . . . 9
19		ordtri2or2 5823	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
20	17, 18, 19	syl2an 494	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
21	4, 5	ackbij2lem4 9064	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
22	21	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$
23	22	ancoms 469	. . . . . . . . 9 $/\$
24	4, 5	ackbij2lem4 9064	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
25	24	ex 450	. . . . . . . . 9 $/\$
26	23, 25	orim12d 883	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $\/$
27	20, 26	mpd 15	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
28	27	ralrimiva 2966	. . . . . 6 $\/$
29	16, 28	jca 554	. . . . 5 $/\$ $\/$
30	3, 29	mprg 2926	. . . 4
31		rdgfun 7512	. . . . . 6
32		funiunfv 6506	. . . . . . 7
33	32	eqcomd 2628	. . . . . 6
34		f1eq1 6096	. . . . . 6
35	31, 33, 34	mp2b 10	. . . . 5
36		r1funlim 8629	. . . . . . 7 $/\$
37	36	simpli 474	. . . . . 6
38		funiunfv 6506	. . . . . 6
39		f1eq2 6097	. . . . . 6
40	37, 38, 39	mp2b 10	. . . . 5
41	35, 40	bitr4i 267	. . . 4
42	30, 41	mpbir 221	. . 3
43		rnuni 5544	. . . 4
44		eliun 4524	. . . . . 6
45		df-rex 2918	. . . . . 6 $/\$
46		funfn 5918	. . . . . . . . . . . 12
47	31, 46	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11
48		rdgdmlim 7513	. . . . . . . . . . . 12
49		limomss 7070	. . . . . . . . . . . 12
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
51		fvelimab 6253	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	47, 50, 51	mp2an 708	. . . . . . . . . 10
53	4, 5	ackbij2lem2 9062	. . . . . . . . . . . . . 14
54		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . 14
55		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . 14
56	53, 54, 55	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13
57		r1fin 8636	. . . . . . . . . . . . . . 15
58		ficardom 8787	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
60		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	9, 59, 60	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13
62	56, 61	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . 12
63		rneq 5351	. . . . . . . . . . . . 13
64	63	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12
65	62, 64	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . 11
66	65	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . 10
67	52, 66	sylbi 207	. . . . . . . . 9
68	67	sselda 3603	. . . . . . . 8 $/\$
69	68	exlimiv 1858	. . . . . . 7 $/\$
70		peano2 7086	. . . . . . . . 9
71		fnfvima 6496	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
72	47, 50, 71	mp3an12 1414	. . . . . . . . 9
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . 8
74		vex 3203	. . . . . . . . . 10
75		cardnn 8789	. . . . . . . . . . . 12
76		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14
77	36	simpri 478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78		limomss 7070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
80	79	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15
81		onssr1 8694	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
83		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . 14
84	76, 82, 83	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . 13
85		nnon 7071	. . . . . . . . . . . . . . 15
86		onenon 8775	. . . . . . . . . . . . . . 15
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
88		r1fin 8636	. . . . . . . . . . . . . . 15
89		finnum 8774	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
91		carddom2 8803	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	87, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13
93	84, 92	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12
94	75, 93	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . 11
95	70, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10
96		sucssel 5819	. . . . . . . . . 10
97	74, 95, 96	mpsyl 68	. . . . . . . . 9
98	4, 5	ackbij2lem2 9062	. . . . . . . . . 10
99		f1ofo 6144	. . . . . . . . . 10
100		forn 6118	. . . . . . . . . 10
101	70, 98, 99, 100	4syl 19	. . . . . . . . 9
102	97, 101	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8
103		fvex 6201	. . . . . . . . 9
104		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10
105		rneq 5351	. . . . . . . . . . 11
106	105	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10
107	104, 106	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
108	103, 107	spcev 3300	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
109	73, 102, 108	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$
110	69, 109	impbii 199	. . . . . 6 $/\$
111	44, 45, 110	3bitri 286	. . . . 5
112	111	eqriv 2619	. . . 4
113	43, 112	eqtri 2644	. . 3
114		dff1o5 6146	. . 3 $/\$
115	42, 113, 114	mpbir2an 955	. 2
116		ackbij.h	. . 3
117		f1oeq1 6127	. . 3
118	116, 117	ax-mp 5	. 2
119	115, 118	mpbir 221	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

csn 4177

cuni 4436

ciun 4520 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

cdm 5114

crn 5115

cima 5117

word 5722

con0 5723

wlim 5724

csuc 5725

wfun 5882

wfn 5883

wf1 5885

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888

com 7065

crdg 7505

cdom 7953

cfn 7955

cr1 8625

ccrd 8761

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-r1 8627 df-rank 8628 df-card 8765 df-cda 8990

This theorem is referenced by: r1om 9066

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