Theorem glbfval 16991

Description: Value of the greatest lower function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbfval.b	|- B = ( Base ` K )
glbfval.l	|- .<_ = ( le ` K )
glbfval.g	|- G = ( glb ` K )
glbfval.p	|- ( ps <-> ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
glbfval.k	|- ( ph -> K e. V )

Assertion

Ref	Expression
glbfval	|- ( ph -> G = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ps ) ) |` { s | E! x e. B ps } ) )

Distinct variable groups:   x, s, z, B   y, s, K, x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, s)   ps( x, y, z, s)   B( y)   G( x, y, z, s)   .<_ ( x, y, z, s)   V( x, y, z, s)

Proof of Theorem glbfval

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbfval.k	. 2 |- ( ph -> K e. V )
2		elex 3212	. 2 |- ( K e. V -> K e. _V )
3		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( p = K -> ( Base ` p ) = ( Base ` K ) )
4		glbfval.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` K )
5	3, 4	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( p = K -> ( Base ` p ) = B )
6	5	pweqd 4163	. . . . . 6 |- ( p = K -> ~P ( Base ` p ) = ~P B )
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = K -> ( le ` p ) = ( le ` K ) )
8		glbfval.l	. . . . . . . . . . 11 |- .<_ = ( le ` K )
9	7, 8	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( p = K -> ( le ` p ) = .<_ )
10	9	breqd 4664	. . . . . . . . 9 |- ( p = K -> ( x ( le ` p ) y <-> x .<_ y ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( p = K -> ( A. y e. s x ( le ` p ) y <-> A. y e. s x .<_ y ) )
12	9	breqd 4664	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = K -> ( z ( le ` p ) y <-> z .<_ y ) )
13	12	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( p = K -> ( A. y e. s z ( le ` p ) y <-> A. y e. s z .<_ y ) )
14	9	breqd 4664	. . . . . . . . . 10 |- ( p = K -> ( z ( le ` p ) x <-> z .<_ x ) )
15	13, 14	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( p = K -> ( ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) <-> ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
16	5, 15	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( p = K -> ( A. z e. ( Base ` p ) ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) <-> A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
17	11, 16	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( p = K -> ( ( A. y e. s x ( le ` p ) y /\ A. z e. ( Base ` p ) ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) ) <-> ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
18	5, 17	riotaeqbidv 6614	. . . . . 6 |- ( p = K -> ( iota_ x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x ( le ` p ) y /\ A. z e. ( Base ` p ) ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) ) ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
19	6, 18	mpteq12dv 4733	. . . . 5 |- ( p = K -> ( s e. ~P ( Base ` p ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x ( le ` p ) y /\ A. z e. ( Base ` p ) ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) ) ) ) = ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) )
20	17	reubidv 3126	. . . . . . 7 |- ( p = K -> ( E! x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x ( le ` p ) y /\ A. z e. ( Base ` p ) ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) ) <-> E! x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
21		reueq1 3140	. . . . . . . 8 |- ( ( Base ` p ) = B -> ( E! x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
22	5, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( p = K -> ( E! x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
23	20, 22	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( p = K -> ( E! x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x ( le ` p ) y /\ A. z e. ( Base ` p ) ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) ) <-> E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
24	23	abbidv 2741	. . . . 5 |- ( p = K -> { s | E! x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x ( le ` p ) y /\ A. z e. ( Base ` p ) ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) ) } = { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } )
25	19, 24	reseq12d 5397	. . . 4 |- ( p = K -> ( ( s e. ~P ( Base ` p ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x ( le ` p ) y /\ A. z e. ( Base ` p ) ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x ( le ` p ) y /\ A. z e. ( Base ` p ) ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) ) } ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) )
26		df-glb 16975	. . . 4 |- glb = ( p e. _V |-> ( ( s e. ~P ( Base ` p ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x ( le ` p ) y /\ A. z e. ( Base ` p ) ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` p ) ( A. y e. s x ( le ` p ) y /\ A. z e. ( Base ` p ) ( A. y e. s z ( le ` p ) y -> z ( le ` p ) x ) ) } ) )
27		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` K ) e. _V
28	4, 27	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- B e. _V
29	28	pwex 4848	. . . . . 6 |- ~P B e. _V
30	29	mptex 6486	. . . . 5 |- ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) e. _V
31	30	resex 5443	. . . 4 |- ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) e. _V
32	25, 26, 31	fvmpt 6282	. . 3 |- ( K e. _V -> ( glb ` K ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) )
33		glbfval.g	. . 3 |- G = ( glb ` K )
34		glbfval.p	. . . . . . 7 |- ( ps <-> ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( x e. B -> ( ps <-> ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
36	35	riotabiia 6628	. . . . 5 |- ( iota_ x e. B ps ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
37	36	mpteq2i 4741	. . . 4 |- ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ps ) ) = ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
38	34	reubii 3128	. . . . 5 |- ( E! x e. B ps <-> E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
39	38	abbii 2739	. . . 4 |- { s | E! x e. B ps } = { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) }
40	37, 39	reseq12i 5394	. . 3 |- ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ps ) ) |` { s | E! x e. B ps } ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } )
41	32, 33, 40	3eqtr4g 2681	. 2 |- ( K e. _V -> G = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ps ) ) |` { s | E! x e. B ps } ) )
42	1, 2, 41	3syl 18	1 |- ( ph -> G = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ps ) ) |` { s | E! x e. B ps } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   ` cfv 5888   iota_crio 6610   Basecbs 15857   lecple 15948   glbcglb 16943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-glb 16975

This theorem is referenced by:  glbdm  16992  glbfun  16993  glbval  16997  meet0  17137  oduglb  17139  odulub  17141