Theorem grpokerinj 33692

Description: A group homomorphism is injective if and only if its kernel is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpkerinj.1	|- X = ran G
grpkerinj.2	|- W = (GId ` G )
grpkerinj.3	|- Y = ran H
grpkerinj.4	|- U = (GId ` H )

Assertion

Ref	Expression
grpokerinj	|- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y <-> ( `' F " { U } ) = { W } ) )

Proof of Theorem grpokerinj

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpkerinj.2	. . . . . . . . 9 |- W = (GId ` G )
2		grpkerinj.4	. . . . . . . . 9 |- U = (GId ` H )
3	1, 2	ghomidOLD 33688	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F ` W ) = U )
4	3	sneqd 4189	. . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { ( F ` W ) } = { U } )
5		grpkerinj.1	. . . . . . . . . 10 |- X = ran G
6		grpkerinj.3	. . . . . . . . . 10 |- Y = ran H
7	5, 6	ghomf 33689	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> F : X --> Y )
8		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Y -> F Fn X )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> F Fn X )
10	5, 1	grpoidcl 27368	. . . . . . . . 9 |- ( G e. GrpOp -> W e. X )
11	10	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> W e. X )
12		fnsnfv 6258	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn X /\ W e. X ) -> { ( F ` W ) } = ( F " { W } ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { ( F ` W ) } = ( F " { W } ) )
14	4, 13	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { U } = ( F " { W } ) )
15	14	imaeq2d 5466	. . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( `' F " { U } ) = ( `' F " ( F " { W } ) ) )
16	15	adantl 482	. . . 4 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " { U } ) = ( `' F " ( F " { W } ) ) )
17	10	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( G e. GrpOp -> { W } C_ X )
18	17	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { W } C_ X )
19		f1imacnv 6153	. . . . 5 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ { W } C_ X ) -> ( `' F " ( F " { W } ) ) = { W } )
20	18, 19	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " ( F " { W } ) ) = { W } )
21	16, 20	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " { U } ) = { W } )
22	21	expcom 451	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y -> ( `' F " { U } ) = { W } ) )
23	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> F : X --> Y )
24		simpl2 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> H e. GrpOp )
25	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. Y )
26	25	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` x ) e. Y )
27	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ y e. X ) -> ( F ` y ) e. Y )
28	27	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` y ) e. Y )
29		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( /g ` H ) = ( /g ` H )
30	6, 2, 29	grpoeqdivid 33680	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. GrpOp /\ ( F ` x ) e. Y /\ ( F ` y ) e. Y ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
31	24, 26, 28, 30	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
32	31	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( /g ` G ) = ( /g ` G )
34	5, 33, 29	ghomdiv 33691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) )
35	34	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) )
36	35	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
37		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- (GId ` H ) e. _V
38	2, 37	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- U e. _V
39	38	snid 4208	. . . . . . . . 9 |- U e. { U }
40		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> U e. { U } ) )
41	39, 40	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } )
42		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
43	7, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> Fun F )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> Fun F )
45	5, 33	grpodivcl 27393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
46	45	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
47	46	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
48		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
49	7, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> dom F = X )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> dom F = X )
51	47, 50	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. dom F )
52		fvimacnv 6332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ ( x ( /g ` G ) y ) e. dom F ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) ) )
53	44, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) ) )
54		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F " { U } ) = { W } -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
55	53, 54	sylan9bb 736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
56	55	an32s 846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
57		elsni 4194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> ( x ( /g ` G ) y ) = W )
58	5, 1, 33	grpoeqdivid 33680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x = y <-> ( x ( /g ` G ) y ) = W ) )
59	58	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
60	59	3expb 1266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
61	60	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
62	57, 61	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> x = y ) )
63	62	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> x = y ) )
64	56, 63	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } -> x = y ) )
65	41, 64	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> x = y ) )
66	36, 65	sylbird 250	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U -> x = y ) )
67	32, 66	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
68	67	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
69		dff13 6512	. . . 4 |- ( F : X -1-1-> Y <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
70	23, 68, 69	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> F : X -1-1-> Y )
71	70	ex 450	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( ( `' F " { U } ) = { W } -> F : X -1-1-> Y ) )
72	22, 71	impbid 202	1 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y <-> ( `' F " { U } ) = { W } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   GrpOpcgr 27343  GIdcgi 27344   /g cgs 27346   GrpOpHom cghomOLD 33682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ghomOLD 33683

This theorem is referenced by:  rngokerinj  33774