Theorem hausnei2 21157

Description: The Hausdorff condition still holds if one considers general neighborhoods instead of open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
hausnei2	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   v, u, x, y, J   u, X, v, x, y

Proof of Theorem hausnei2

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishaus2 21155	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
2		topontop 20718	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
3		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) -> J e. Top )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) /\ ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) -> J e. Top )
5		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) -> m e. J )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) /\ ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) -> m e. J )
7		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> x e. m )
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) /\ ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) -> x e. m )
9		opnneip 20923	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ m e. J /\ x e. m ) -> m e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) /\ ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) -> m e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
11		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) -> n e. J )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) /\ ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) -> n e. J )
13		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> y e. n )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) /\ ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) -> y e. n )
15		opnneip 20923	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ n e. J /\ y e. n ) -> n e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
16	4, 12, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) /\ ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) -> n e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
17		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> ( m i^i n ) = (/) )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) /\ ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) -> ( m i^i n ) = (/) )
19		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = m -> ( u i^i v ) = ( m i^i v ) )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = m -> ( ( u i^i v ) = (/) <-> ( m i^i v ) = (/) ) )
21		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = n -> ( m i^i v ) = ( m i^i n ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = n -> ( ( m i^i v ) = (/) <-> ( m i^i n ) = (/) ) )
23	20, 22	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ n e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) )
24	10, 16, 18, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) /\ ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) )
25	24	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ m e. J /\ n e. J ) -> ( ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
26	25	3expib 1268	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> ( ( m e. J /\ n e. J ) -> ( ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )
27	26	rexlimdvv 3037	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
28		neii2 20912	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. m e. J ( { x } C_ m /\ m C_ u ) )
29	28	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> E. m e. J ( { x } C_ m /\ m C_ u ) ) )
30		neii2 20912	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) -> E. n e. J ( { y } C_ n /\ n C_ v ) )
31	30	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) -> E. n e. J ( { y } C_ n /\ n C_ v ) ) )
32		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
33	32	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. m <-> { x } C_ m )
34	33	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. m /\ m C_ u ) <-> ( { x } C_ m /\ m C_ u ) )
35		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- y e. _V
36	35	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. n <-> { y } C_ n )
37	36	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. n /\ n C_ v ) <-> ( { y } C_ n /\ n C_ v ) )
38		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. m /\ m C_ u ) /\ ( y e. n /\ n C_ v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x e. m )
39		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. m /\ m C_ u ) /\ ( y e. n /\ n C_ v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> y e. n )
40		ss2in 3840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( m C_ u /\ n C_ v ) -> ( m i^i n ) C_ ( u i^i v ) )
41		ssn0 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( m i^i n ) C_ ( u i^i v ) /\ ( m i^i n ) =/= (/) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
42	41	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m i^i n ) C_ ( u i^i v ) -> ( ( m i^i n ) =/= (/) -> ( u i^i v ) =/= (/) ) )
43	42	necon4d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( m i^i n ) C_ ( u i^i v ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> ( m i^i n ) = (/) ) )
44	40, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m C_ u /\ n C_ v ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> ( m i^i n ) = (/) ) )
45	44	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. m /\ m C_ u ) /\ ( y e. n /\ n C_ v ) ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> ( m i^i n ) = (/) ) )
46	45	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. m /\ m C_ u ) /\ ( y e. n /\ n C_ v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> ( m i^i n ) = (/) )
47	38, 39, 46	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. m /\ m C_ u ) /\ ( y e. n /\ n C_ v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
48	47	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. m /\ m C_ u ) -> ( ( y e. n /\ n C_ v ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
49	37, 48	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. m /\ m C_ u ) -> ( ( { y } C_ n /\ n C_ v ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
50	49	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u i^i v ) = (/) -> ( ( x e. m /\ m C_ u ) -> ( ( { y } C_ n /\ n C_ v ) -> ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
51	50	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( u i^i v ) = (/) /\ ( x e. m /\ m C_ u ) ) -> ( ( { y } C_ n /\ n C_ v ) -> ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
52	51	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ ( u i^i v ) = (/) /\ ( x e. m /\ m C_ u ) ) -> ( ( { y } C_ n /\ n C_ v ) -> ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
53	52	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ ( u i^i v ) = (/) /\ ( x e. m /\ m C_ u ) ) -> ( E. n e. J ( { y } C_ n /\ n C_ v ) -> E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
54	53	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. Top -> ( ( u i^i v ) = (/) -> ( ( x e. m /\ m C_ u ) -> ( E. n e. J ( { y } C_ n /\ n C_ v ) -> E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) ) )
55	54	com34 91	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top -> ( ( u i^i v ) = (/) -> ( E. n e. J ( { y } C_ n /\ n C_ v ) -> ( ( x e. m /\ m C_ u ) -> E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) ) )
56	55	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( u i^i v ) = (/) /\ E. n e. J ( { y } C_ n /\ n C_ v ) ) -> ( ( x e. m /\ m C_ u ) -> E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
57	34, 56	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( u i^i v ) = (/) /\ E. n e. J ( { y } C_ n /\ n C_ v ) ) -> ( ( { x } C_ m /\ m C_ u ) -> E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
58	57	reximdv 3016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ ( u i^i v ) = (/) /\ E. n e. J ( { y } C_ n /\ n C_ v ) ) -> ( E. m e. J ( { x } C_ m /\ m C_ u ) -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
59	58	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> ( ( u i^i v ) = (/) -> ( E. n e. J ( { y } C_ n /\ n C_ v ) -> ( E. m e. J ( { x } C_ m /\ m C_ u ) -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) ) )
60	59	com24 95	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> ( E. m e. J ( { x } C_ m /\ m C_ u ) -> ( E. n e. J ( { y } C_ n /\ n C_ v ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) ) )
61	60	impd 447	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( ( E. m e. J ( { x } C_ m /\ m C_ u ) /\ E. n e. J ( { y } C_ n /\ n C_ v ) ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
62	29, 31, 61	syl2and 500	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
63	62	rexlimdvv 3037	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
64	27, 63	impbid 202	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
65	64	imbi2d 330	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( ( x =/= y -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) <-> ( x =/= y -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )
66	65	2ralbidv 2989	. . 3 |- ( J e. Top -> ( A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )
67	2, 66	syl 17	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )
68	1, 67	bitrd 268	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   ` cfv 5888   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   neicnei 20901   Hauscha 21112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-topon 20716  df-nei 20902  df-haus 21119

This theorem is referenced by:  hausflim  21785