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Theorem hausflim 21785
Description: A condition for a topology to be Hausdorff in terms of filters. A topology is Hausdorff iff every filter has at most one limit point. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcf.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
hausflim |- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )
Distinct variable groups:   x, f, J   f, X, x
Proof of Theorem hausflim
Dummy variables v u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 21135 . . 3 |- ( J e. Haus -> J e. Top )
2 hausflimi 21784 . . . 4 |- ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim f ) )
32ralrimivw 2967 . . 3 |- ( J e. Haus -> A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) )
41, 3jca 554 . 2 |- ( J e. Haus -> ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )
5 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> J e. Top )
6 flimcf.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- X = U. J
76toptopon 20722 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
85, 7sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
9 simprll 802 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> z e. X )
109snssd 4340 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { z } C_ X )
11 snnzg 4308 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. X -> { z } =/= (/) )
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { z } =/= (/) )
13 neifil 21684 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { z } C_ X /\ { z } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) )
148, 10, 12, 13syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) )
15 filfbas 21652 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( fBas ` X ) )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( fBas ` X ) )
17 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> w e. X )
1817snssd 4340 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { w } C_ X )
19 snnzg 4308 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. X -> { w } =/= (/) )
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> { w } =/= (/) )
21 neifil 21684 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { w } C_ X /\ { w } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( Fil ` X ) )
228, 18, 20, 21syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( Fil ` X ) )
23 filfbas 21652 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( fBas ` X ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( fBas ` X ) )
25 fbunfip 21673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( fBas ` X ) /\ ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) <-> A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) ) )
2616, 24, 25syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) <-> A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) ) )
276neisspw 20911 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ~P X )
286neisspw 20911 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ~P X )
2927, 28unssd 3789 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X )
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X )
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X ) )
32 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) )
33 filn0 21666 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) =/= (/) )
3414, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) =/= (/) )
35 ssn0 3976 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) /\ ( ( nei ` J ) ` { z } ) =/= (/) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) )
3632, 34, 35sylancr 695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) )
3736a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) ) )
38 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
3931, 37, 383jcad 1243 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
406topopn 20711 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top -> X e. J )
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> X e. J )
42 fsubbas 21671 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. J -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
44 fgcl 21682 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
46 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> z =/= w )
479adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> z e. X )
4817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> w e. X )
49 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V
50 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( nei ` J ) ` { w } ) e. _V
5149, 50unex 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) e. _V
52 ssfii 8325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) e. _V -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) )
54 ssfg 21676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
5653, 55syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
5732, 56syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
588adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
59 elflim 21775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( z e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
6058, 45, 59syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( z e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { z } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
6147, 57, 60mpbir2and 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
6256unssbd 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) )
63 elflim 21775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) ) -> ( w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( w e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
6458, 45, 63syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> ( w e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { w } ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
6548, 62, 64mpbir2and 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
66 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
67 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> ( x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) <-> w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
6866, 67moi 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) ) -> z = w )
69683com23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) /\ E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) -> z = w )
70693expia 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) /\ w e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) ) -> ( E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) -> z = w ) )
7147, 48, 61, 65, 70syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) -> z = w ) )
7271necon3ad 2807 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> ( z =/= w -> -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
7346, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
74 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( J fLim f ) = ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) )
7574eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( x e. ( J fLim f ) <-> x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
7675mobidv 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( E* x x e. ( J fLim f ) <-> E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
7776notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> ( -. E* x x e. ( J fLim f ) <-> -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) )
7877rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) e. ( Fil ` X ) /\ -. E* x x e. ( J fLim ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) )
7945, 73, 78syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) )
8079ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) e. ( fBas ` X ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
8143, 80sylbird 250 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
8239, 81syld 47 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) u. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ) ) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
8326, 82sylbird 250 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) -> E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) ) )
84 df-ne 2795 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i v ) =/= (/) <-> -. ( u i^i v ) = (/) )
8584ralbii 2980 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) -. ( u i^i v ) = (/) )
86 ralnex 2992 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) -. ( u i^i v ) = (/) <-> -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
8785, 86bitri 264 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
8887ralbii 2980 . . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
89 ralnex 2992 . . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) -. E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) <-> -. E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
9088, 89bitri 264 . . . . . . . . 9 |- ( A. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) A. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) =/= (/) <-> -. E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
91 rexnal 2995 . . . . . . . . 9 |- ( E. f e. ( Fil ` X ) -. E* x x e. ( J fLim f ) <-> -. A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) )
9283, 90, 913imtr3g 284 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( -. E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) -> -. A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )
9392con4d 114 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
9493imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
9594an32s 846 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ z =/= w ) ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) )
9695expr 643 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
9796ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> A. z e. X A. w e. X ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
98 simpl 473 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> J e. Top )
9998, 7sylib 208 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
100 hausnei2 21157 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. z e. X A. w e. X ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )
10199, 100syl 17 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> ( J e. Haus <-> A. z e. X A. w e. X ( z =/= w -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { w } ) ( u i^i v ) = (/) ) ) )
10297, 101mpbird 247 . 2 |- ( ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) -> J e. Haus )
1034, 102impbii 199 1 |- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. f e. ( Fil ` X ) E* x x e. ( J fLim f ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E*wmo 2471   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ficfi 8316   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   neicnei 20901   Hauscha 21112   Filcfil 21649   fLim cflim 21738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-nei 20902  df-haus 21119  df-fil 21650  df-flim 21743
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