Theorem hmopco 28882

Description: The composition of two commuting Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 22-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopco	|- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ ( T o. U ) = ( U o. T ) ) -> ( T o. U ) e. HrmOp )

Proof of Theorem hmopco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 28733	. . . 4 |- ( T e. HrmOp -> T : ~H --> ~H )
2		hmopf 28733	. . . 4 |- ( U e. HrmOp -> U : ~H --> ~H )
3		fco 6058	. . . 4 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ U : ~H --> ~H ) -> ( T o. U ) : ~H --> ~H )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. . 3 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) -> ( T o. U ) : ~H --> ~H )
5	4	3adant3 1081	. 2 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ ( T o. U ) = ( U o. T ) ) -> ( T o. U ) : ~H --> ~H )
6		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T o. U ) ` y ) = ( T ` ( U ` y ) ) )
7	2, 6	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. HrmOp /\ y e. ~H ) -> ( ( T o. U ) ` y ) = ( T ` ( U ` y ) ) )
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. HrmOp /\ y e. ~H ) -> ( x .ih ( ( T o. U ) ` y ) ) = ( x .ih ( T ` ( U ` y ) ) ) )
9	8	ad2ant2l 782	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( x .ih ( ( T o. U ) ` y ) ) = ( x .ih ( T ` ( U ` y ) ) ) )
10		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> T e. HrmOp )
11		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> x e. ~H )
12	2	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. HrmOp /\ y e. ~H ) -> ( U ` y ) e. ~H )
13	12	ad2ant2l 782	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( U ` y ) e. ~H )
14		hmop 28781	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. HrmOp /\ x e. ~H /\ ( U ` y ) e. ~H ) -> ( x .ih ( T ` ( U ` y ) ) ) = ( ( T ` x ) .ih ( U ` y ) ) )
15	10, 11, 13, 14	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( x .ih ( T ` ( U ` y ) ) ) = ( ( T ` x ) .ih ( U ` y ) ) )
16		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> U e. HrmOp )
17	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. HrmOp /\ x e. ~H ) -> ( T ` x ) e. ~H )
18	17	ad2ant2r 783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( T ` x ) e. ~H )
19		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> y e. ~H )
20		hmop 28781	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. HrmOp /\ ( T ` x ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih ( U ` y ) ) = ( ( U ` ( T ` x ) ) .ih y ) )
21	16, 18, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( T ` x ) .ih ( U ` y ) ) = ( ( U ` ( T ` x ) ) .ih y ) )
22	9, 15, 21	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( x .ih ( ( T o. U ) ` y ) ) = ( ( U ` ( T ` x ) ) .ih y ) )
23		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( U o. T ) ` x ) = ( U ` ( T ` x ) ) )
24	1, 23	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. HrmOp /\ x e. ~H ) -> ( ( U o. T ) ` x ) = ( U ` ( T ` x ) ) )
25	24	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( T e. HrmOp /\ x e. ~H ) -> ( ( ( U o. T ) ` x ) .ih y ) = ( ( U ` ( T ` x ) ) .ih y ) )
26	25	ad2ant2r 783	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( U o. T ) ` x ) .ih y ) = ( ( U ` ( T ` x ) ) .ih y ) )
27	22, 26	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( x .ih ( ( T o. U ) ` y ) ) = ( ( ( U o. T ) ` x ) .ih y ) )
28	27	3adantl3 1219	. . . 4 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ ( T o. U ) = ( U o. T ) ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( x .ih ( ( T o. U ) ` y ) ) = ( ( ( U o. T ) ` x ) .ih y ) )
29		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( ( T o. U ) = ( U o. T ) -> ( ( T o. U ) ` x ) = ( ( U o. T ) ` x ) )
30	29	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( T o. U ) = ( U o. T ) -> ( ( ( T o. U ) ` x ) .ih y ) = ( ( ( U o. T ) ` x ) .ih y ) )
31	30	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ ( T o. U ) = ( U o. T ) ) -> ( ( ( T o. U ) ` x ) .ih y ) = ( ( ( U o. T ) ` x ) .ih y ) )
32	31	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ ( T o. U ) = ( U o. T ) ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( T o. U ) ` x ) .ih y ) = ( ( ( U o. T ) ` x ) .ih y ) )
33	28, 32	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ ( T o. U ) = ( U o. T ) ) /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( x .ih ( ( T o. U ) ` y ) ) = ( ( ( T o. U ) ` x ) .ih y ) )
34	33	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ ( T o. U ) = ( U o. T ) ) -> A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( ( T o. U ) ` y ) ) = ( ( ( T o. U ) ` x ) .ih y ) )
35		elhmop 28732	. 2 |- ( ( T o. U ) e. HrmOp <-> ( ( T o. U ) : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( x .ih ( ( T o. U ) ` y ) ) = ( ( ( T o. U ) ` x ) .ih y ) ) )
36	5, 34, 35	sylanbrc 698	1 |- ( ( T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ ( T o. U ) = ( U o. T ) ) -> ( T o. U ) e. HrmOp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~Hchil 27776   .ih csp 27779   HrmOpcho 27807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-hilex 27856

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-hmop 28703

This theorem is referenced by:  leopsq  28988  opsqrlem4  29002  opsqrlem6  29004