Theorem icorempt2 33199

Description: Closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 26-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
icorempt2.1	|- F = ( [,) |` ( RR X. RR ) )

Assertion

Ref	Expression
icorempt2	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y, z)

Proof of Theorem icorempt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icorempt2.1	. 2 |- F = ( [,) |` ( RR X. RR ) )
2		df-ico 12181	. . . 4 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
3	2	reseq1i 5392	. . 3 |- ( [,) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } ) |` ( RR X. RR ) )
4		ressxr 10083	. . . 4 |- RR C_ RR*
5		resmpt2 6758	. . . 4 |- ( ( RR C_ RR* /\ RR C_ RR* ) -> ( ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } ) |` ( RR X. RR ) ) = ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } ) )
6	4, 4, 5	mp2an 708	. . 3 |- ( ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } ) |` ( RR X. RR ) ) = ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
7	3, 6	eqtri 2644	. 2 |- ( [,) |` ( RR X. RR ) ) = ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
8		nfv 1843	. . . 4 |- F/ z ( x e. RR /\ y e. RR )
9		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ z { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) }
10		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ z { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) }
11		rabid 3116	. . . . . . . 8 |- ( z e. { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } <-> ( z e. RR* /\ ( x <_ z /\ z < y ) ) )
12		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
13		nltmnf 11963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR* -> -. x < -oo )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> -. x < -oo )
15		renemnf 10088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> x =/= -oo )
16	15	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> -. x = -oo )
17	14, 16	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( -. x < -oo /\ -. x = -oo ) )
18		pm4.56 516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. x < -oo /\ -. x = -oo ) <-> -. ( x < -oo \/ x = -oo ) )
19	17, 18	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> -. ( x < -oo \/ x = -oo ) )
20		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -oo e. RR*
21		xrleloe 11977	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> ( x <_ -oo <-> ( x < -oo \/ x = -oo ) ) )
22	12, 20, 21	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( x <_ -oo <-> ( x < -oo \/ x = -oo ) ) )
23	19, 22	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> -. x <_ -oo )
24		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = -oo -> ( x <_ z <-> x <_ -oo ) )
25	24	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = -oo -> ( -. x <_ z <-> -. x <_ -oo ) )
26	23, 25	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( z = -oo -> -. x <_ z ) )
27	26	con2d 129	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x <_ z -> -. z = -oo ) )
28		rexr 10085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> y e. RR* )
29		pnfnlt 11962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> -. +oo < y )
30		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = +oo -> ( z < y <-> +oo < y ) )
31	30	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = +oo -> ( -. z < y <-> -. +oo < y ) )
32	29, 31	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR* -> ( z = +oo -> -. z < y ) )
33	32	con2d 129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR* -> ( z < y -> -. z = +oo ) )
34	28, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> ( z < y -> -. z = +oo ) )
35	27, 34	im2anan9 880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( x <_ z /\ z < y ) -> ( -. z = -oo /\ -. z = +oo ) ) )
36	35	anim2d 589	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z e. RR* /\ ( x <_ z /\ z < y ) ) -> ( z e. RR* /\ ( -. z = -oo /\ -. z = +oo ) ) ) )
37		renepnf 10087	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR -> z =/= +oo )
38	37	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR -> -. z = +oo )
39	38	pm4.71i 664	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR <-> ( z e. RR /\ -. z = +oo ) )
40		xrnemnf 11951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR* /\ z =/= -oo ) <-> ( z e. RR \/ z = +oo ) )
41	40	anbi1i 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. RR* /\ z =/= -oo ) /\ -. z = +oo ) <-> ( ( z e. RR \/ z = +oo ) /\ -. z = +oo ) )
42		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z =/= -oo <-> -. z = -oo )
43	42	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR* /\ z =/= -oo ) <-> ( z e. RR* /\ -. z = -oo ) )
44	43	anbi1i 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. RR* /\ z =/= -oo ) /\ -. z = +oo ) <-> ( ( z e. RR* /\ -. z = -oo ) /\ -. z = +oo ) )
45		pm5.61 749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. RR \/ z = +oo ) /\ -. z = +oo ) <-> ( z e. RR /\ -. z = +oo ) )
46	41, 44, 45	3bitr3i 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. RR* /\ -. z = -oo ) /\ -. z = +oo ) <-> ( z e. RR /\ -. z = +oo ) )
47		anass 681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. RR* /\ -. z = -oo ) /\ -. z = +oo ) <-> ( z e. RR* /\ ( -. z = -oo /\ -. z = +oo ) ) )
48	39, 46, 47	3bitr2ri 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. RR* /\ ( -. z = -oo /\ -. z = +oo ) ) <-> z e. RR )
49	36, 48	syl6ib 241	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z e. RR* /\ ( x <_ z /\ z < y ) ) -> z e. RR ) )
50	11, 49	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( z e. { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } -> z e. RR ) )
51	11	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( z e. { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } -> ( x <_ z /\ z < y ) )
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( z e. { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } -> ( x <_ z /\ z < y ) ) )
53	50, 52	jcad 555	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( z e. { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } -> ( z e. RR /\ ( x <_ z /\ z < y ) ) ) )
54		rabid 3116	. . . . . 6 |- ( z e. { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } <-> ( z e. RR /\ ( x <_ z /\ z < y ) ) )
55	53, 54	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( z e. { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } -> z e. { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) )
56		rabss2 3685	. . . . . . 7 |- ( RR C_ RR* -> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } C_ { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
57	4, 56	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } C_ { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) }
58	57	sseli 3599	. . . . 5 |- ( z e. { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } -> z e. { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
59	55, 58	impbid1 215	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( z e. { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } <-> z e. { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) )
60	8, 9, 10, 59	eqrd 3622	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } )
61	60	mpt2eq3ia 6720	. 2 |- ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } ) = ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } )
62	1, 7, 61	3eqtri 2648	1 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181

This theorem is referenced by:  icoreresf  33200  icoreval  33201