Theorem icoreresf 33200

Description: Closed-below, open-above intervals of reals map to subsets of reals. (Contributed by ML, 25-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icoreresf	|- ( [,) |` ( RR X. RR ) ) : ( RR X. RR ) --> ~P RR

Proof of Theorem icoreresf

Dummy variables x y z l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexpssxrxp 10084	. . 3 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
2		df-ico 12181	. . . . 5 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
3	2	ixxf 12185	. . . 4 |- [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*
4		ffn 6045	. . . 4 |- ( [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* -> [,) Fn ( RR* X. RR* ) )
5		fnssresb 6003	. . . 4 |- ( [,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( ( [,) |` ( RR X. RR ) ) Fn ( RR X. RR ) <-> ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* ) ) )
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . 3 |- ( ( [,) |` ( RR X. RR ) ) Fn ( RR X. RR ) <-> ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* ) )
7	1, 6	mpbir 221	. 2 |- ( [,) |` ( RR X. RR ) ) Fn ( RR X. RR )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( [,) |` ( RR X. RR ) ) = ( [,) |` ( RR X. RR ) )
9	8	icorempt2 33199	. . . 4 |- ( [,) |` ( RR X. RR ) ) = ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } )
10	9	rneqi 5352	. . 3 |- ran ( [,) |` ( RR X. RR ) ) = ran ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } )
11		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } C_ RR
12		reex 10027	. . . . . . 7 |- RR e. _V
13	12	elpw2 4828	. . . . . 6 |- ( { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR <-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } C_ RR )
14	11, 13	mpbir 221	. . . . 5 |- { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR
15	14	rgen2w 2925	. . . 4 |- A. x e. RR A. y e. RR { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR
16		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) = ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } )
17	16	rnmpt2 6770	. . . . . . 7 |- ran ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) = { l | E. x e. RR E. y e. RR l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } }
18	17	abeq2i 2735	. . . . . 6 |- ( l e. ran ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) <-> E. x e. RR E. y e. RR l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } )
19		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR /\ E. x e. RR E. y e. RR l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) -> A. x e. RR A. y e. RR { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR )
20		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR /\ E. x e. RR E. y e. RR l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) -> E. x e. RR E. y e. RR l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } )
21	19, 20	r19.29d2r 3080	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR /\ E. x e. RR E. y e. RR l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) -> E. x e. RR E. y e. RR ( { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR /\ l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) )
22		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } -> ( l e. ~P RR <-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR ) )
23	22	biimparc 504	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR /\ l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) -> l e. ~P RR )
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR /\ l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) -> l e. ~P RR ) )
25	24	rexlimivv 3036	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. RR E. y e. RR ( { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR /\ l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) -> l e. ~P RR )
26	21, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR /\ E. x e. RR E. y e. RR l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) -> l e. ~P RR )
27	26	ex 450	. . . . . 6 |- ( A. x e. RR A. y e. RR { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR -> ( E. x e. RR E. y e. RR l = { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } -> l e. ~P RR ) )
28	18, 27	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( A. x e. RR A. y e. RR { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR -> ( l e. ran ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) -> l e. ~P RR ) )
29	28	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( A. x e. RR A. y e. RR { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } e. ~P RR -> ran ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) C_ ~P RR )
30	15, 29	ax-mp 5	. . 3 |- ran ( x e. RR , y e. RR |-> { z e. RR | ( x <_ z /\ z < y ) } ) C_ ~P RR
31	10, 30	eqsstri 3635	. 2 |- ran ( [,) |` ( RR X. RR ) ) C_ ~P RR
32		df-f 5892	. 2 |- ( ( [,) |` ( RR X. RR ) ) : ( RR X. RR ) --> ~P RR <-> ( ( [,) |` ( RR X. RR ) ) Fn ( RR X. RR ) /\ ran ( [,) |` ( RR X. RR ) ) C_ ~P RR ) )
33	7, 31, 32	mpbir2an 955	1 |- ( [,) |` ( RR X. RR ) ) : ( RR X. RR ) --> ~P RR

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181

This theorem is referenced by:  icoreelrnab  33202  icoreunrn  33207