Theorem invdisj 4638

Description: If there is a function C ( y ) such that C ( y ) = x for all y e. B ( x ), then the sets B ( x ) for distinct x e. A are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
invdisj	|- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> Disj x e. A B )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   y, B   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem invdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra2 2946	. . 3 |- F/ y A. x e. A A. y e. B C = x
2		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B C = x ) )
3		rsp 2929	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B C = x -> ( y e. B -> C = x ) )
4		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( C = x <-> x = C )
5	3, 4	syl6ib 241	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B C = x -> ( y e. B -> x = C ) )
6	5	imim2i 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> ( x e. A -> ( y e. B -> x = C ) ) )
7	6	impd 447	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
8	7	alimi 1739	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
9	2, 8	sylbi 207	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
10		mo2icl 3385	. . . 4 |- ( A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) -> E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
11	9, 10	syl 17	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
12	1, 11	alrimi 2082	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> A. y E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
13		dfdisj2 4622	. 2 |- (Disj x e. A B <-> A. y E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	sylibr 224	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> Disj x e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E*wmo 2471   A.wral 2912  Disj wdisj 4620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rmo 2920  df-v 3202  df-disj 4621

This theorem is referenced by:  invdisjrab  4639  ackbijnn  14560  incexc2  14570  phisum  15495  itg1addlem1  23459  musum  24917  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  disjabrex  29395  disjabrexf  29396  actfunsnrndisj  30683  poimirlem27  33436