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Theorem musum 24917

Description: The sum of the Möbius function over the divisors of

gives one if

, but otherwise always sums to zero. Theorem 2.1 in [ApostolNT] p. 25. This makes the Möbius function useful for inverting divisor sums; see also muinv 24919. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
musum

Distinct variable group:

Proof of Theorem musum Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . 8
2	1	neeq1d 2853	. . . . . . 7
3		breq1 4656	. . . . . . 7
4	2, 3	anbi12d 747	. . . . . 6 $/\$ $/\$
5	4	elrab 3363	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
6		muval2 24860	. . . . . 6 $/\$
7	6	adantrr 753	. . . . 5 $/\$ $/\$
8	5, 7	sylbi 207	. . . 4 $/\$
9	8	adantl 482	. . 3 $/\$ $/\$
10	9	sumeq2dv 14433	. 2 $/\$ $/\$
11		simpr 477	. . . . 5 $/\$
12	11	a1i 11	. . . 4 $/\$ $/\$
13	12	ss2rabdv 3683	. . 3 $/\$
14		ssrab2 3687	. . . . . 6 $/\$
15		simpr 477	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
16	14, 15	sseldi 3601	. . . . 5 $/\$ $/\$
17		mucl 24867	. . . . 5
18	16, 17	syl 17	. . . 4 $/\$ $/\$
19	18	zcnd 11483	. . 3 $/\$ $/\$
20		difrab 3901	. . . . . . 7 $\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		pm3.21 464	. . . . . . . . . . 11 $/\$
22	21	necon1bd 2812	. . . . . . . . . 10 $/\$
23	22	imp 445	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
25	24	ss2rabi 3684	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
26	20, 25	eqsstri 3635	. . . . . 6 $\$ $/\$
27	26	sseli 3599	. . . . 5 $\$ $/\$
28	1	eqeq1d 2624	. . . . . . 7
29	28	elrab 3363	. . . . . 6 $/\$
30	29	simprbi 480	. . . . 5
31	27, 30	syl 17	. . . 4 $\$ $/\$
32	31	adantl 482	. . 3 $/\$ $\$ $/\$
33		fzfid 12772	. . . 4
34		dvdsssfz1 15040	. . . 4
35		ssfi 8180	. . . 4 $/\$
36	33, 34, 35	syl2anc 693	. . 3
37	13, 19, 32, 36	fsumss 14456	. 2 $/\$
38		fveq2 6191	. . . . 5
39	38	oveq2d 6666	. . . 4
40		ssfi 8180	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
41	36, 13, 40	syl2anc 693	. . . 4 $/\$
42		eqid 2622	. . . . 5 $/\$ $/\$
43		eqid 2622	. . . . 5 $/\$ $/\$
44		oveq1 6657	. . . . . . . 8
45	44	cbvmptv 4750	. . . . . . 7
46		oveq2 6658	. . . . . . . 8
47	46	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7
48	45, 47	syl5eq 2668	. . . . . 6
49	48	cbvmptv 4750	. . . . 5
50	42, 43, 49	sqff1o 24908	. . . 4 $/\$ $/\$
51		breq2 4657	. . . . . . 7
52	51	rabbidv 3189	. . . . . 6
53		zex 11386	. . . . . . . 8
54		prmz 15389	. . . . . . . . 9
55	54	ssriv 3607	. . . . . . . 8
56	53, 55	ssexi 4803	. . . . . . 7
57	56	rabex 4813	. . . . . 6
58	52, 43, 57	fvmpt 6282	. . . . 5 $/\$ $/\$
59	58	adantl 482	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
60		neg1cn 11124	. . . . 5
61		prmdvdsfi 24833	. . . . . . 7
62		elpwi 4168	. . . . . . 7
63		ssfi 8180	. . . . . . 7 $/\$
64	61, 62, 63	syl2an 494	. . . . . 6 $/\$
65		hashcl 13147	. . . . . 6
66	64, 65	syl 17	. . . . 5 $/\$
67		expcl 12878	. . . . 5 $/\$
68	60, 66, 67	sylancr 695	. . . 4 $/\$
69	39, 41, 50, 59, 68	fsumf1o 14454	. . 3 $/\$
70		fzfid 12772	. . . . 5
71	61	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
72		pwfi 8261	. . . . . . 7
73	71, 72	sylib 208	. . . . . 6 $/\$
74		ssrab2 3687	. . . . . 6
75		ssfi 8180	. . . . . 6 $/\$
76	73, 74, 75	sylancl 694	. . . . 5 $/\$
77		simprr 796	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
79	78	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10
80	79	elrab 3363	. . . . . . . . 9 $/\$
81	80	simprbi 480	. . . . . . . 8
82	77, 81	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
83	82	ralrimivva 2971	. . . . . 6
84		invdisj 4638	. . . . . 6 Disj
85	83, 84	syl 17	. . . . 5 Disj
86	61	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
87	74, 77	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	87, 62	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	86, 88, 63	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
90	89, 65	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$
91	60, 90, 67	sylancr 695	. . . . 5 $/\$ $/\$
92	70, 76, 85, 91	fsumiun 14553	. . . 4
93	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
94		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . 12
97	93, 95, 96	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 $/\$
98		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	61, 94, 98	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100		hashdom 13168	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
101	99, 93, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
102	97, 101	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . 13
104	99, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
105		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . 12
106	104, 105	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . 14
108	61, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
110	109	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 $/\$
111		elfz5 12334	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	106, 110, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$
113	102, 112	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$
114		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 $/\$
115		eqeq2 2633	. . . . . . . . . 10
116	115	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 $/\$
117	113, 114, 116	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$
118	117	ralrimiva 2966	. . . . . . 7
119		rabid2 3118	. . . . . . 7
120	118, 119	sylibr 224	. . . . . 6
121		iunrab 4567	. . . . . 6
122	120, 121	syl6reqr 2675	. . . . 5
123	122	sumeq1d 14431	. . . 4
124		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10
125	124	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
126		expcl 12878	. . . . . . . . 9 $/\$
127	60, 125, 126	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
128		fsumconst 14522	. . . . . . . 8 $/\$
129	76, 127, 128	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$
130	81	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
131	130	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
132	131	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 $/\$
133		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9
134		hashbc 13237	. . . . . . . . 9 $/\$
135	61, 133, 134	syl2an 494	. . . . . . . 8 $/\$
136	135	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$
137	129, 132, 136	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 $/\$
138	137	sumeq2dv 14433	. . . . 5
139		1pneg1e0 11129	. . . . . . 7
140	139	oveq1i 6660	. . . . . 6
141		binom1p 14563	. . . . . . 7 $/\$
142	60, 108, 141	sylancr 695	. . . . . 6
143	140, 142	syl5eqr 2670	. . . . 5
144		eqeq2 2633	. . . . . 6
145		eqeq2 2633	. . . . . 6
146		nprmdvds1 15418	. . . . . . . . . . . . 13
147		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
148	147	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
149	148	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
150	146, 149	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
151	150	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . 11 $/\$
152		rabeq0 3957	. . . . . . . . . . 11
153	151, 152	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 $/\$
154	153	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$
155		hash0 13158	. . . . . . . . 9
156	154, 155	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 $/\$
157	156	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$
158		0exp0e1 12865	. . . . . . 7
159	157, 158	syl6eq 2672	. . . . . 6 $/\$
160		df-ne 2795	. . . . . . . . . . 11
161		eluz2b3 11762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
162	161	biimpri 218	. . . . . . . . . . 11 $/\$
163	160, 162	sylan2br 493	. . . . . . . . . 10 $/\$
164		exprmfct 15416	. . . . . . . . . 10
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
166		rabn0 3958	. . . . . . . . 9
167	165, 166	sylibr 224	. . . . . . . 8 $/\$
168	61	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
169		hashnncl 13157	. . . . . . . . 9
170	168, 169	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
171	167, 170	mpbird 247	. . . . . . 7 $/\$
172	171	0expd 13024	. . . . . 6 $/\$
173	144, 145, 159, 172	ifbothda 4123	. . . . 5
174	138, 143, 173	3eqtr2d 2662	. . . 4
175	92, 123, 174	3eqtr3d 2664	. . 3
176	69, 175	eqtr3d 2658	. 2 $/\$
177	10, 37, 176	3eqtr3d 2664	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916 $\$ cdif 3571

wss 3574

c0 3915

cif 4086

cpw 4158

ciun 4520 Disj wdisj 4620 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cdom 7953

cfn 7955

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cle 10075

cneg 10267

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cexp 12860

cbc 13089

chash 13117

csu 14416

cdvds 14983

cprime 15385

cpc 15541

cmu 24821

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-mu 24827

This theorem is referenced by: musumsum 24918 muinv 24919

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