Theorem incexc2 14570

Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
incexc2	|- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. sum_ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( # ` |^| s ) ) )

Distinct variable group:   k, n, s, A

Proof of Theorem incexc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incexc 14569	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )
2		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
3	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ k e. ~P A ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
4	3	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ k e. ~P A ) -> ( # ` A ) e. ZZ )
5		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A e. Fin )
6		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ~P A -> k C_ A )
7		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Fin -> ( k C_ A -> k ~<_ A ) )
8	7	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ k C_ A ) -> k ~<_ A )
9	5, 6, 8	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ k e. ~P A ) -> k ~<_ A )
10		hashdomi 13169	. . . . . . . . . . 11 |- ( k ~<_ A -> ( # ` k ) <_ ( # ` A ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ k e. ~P A ) -> ( # ` k ) <_ ( # ` A ) )
12		fznn 12408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) e. ZZ -> ( ( # ` k ) e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( ( # ` k ) e. NN /\ ( # ` k ) <_ ( # ` A ) ) ) )
13	12	rbaibd 949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` A ) e. ZZ /\ ( # ` k ) <_ ( # ` A ) ) -> ( ( # ` k ) e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( # ` k ) e. NN ) )
14	4, 11, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ k e. ~P A ) -> ( ( # ` k ) e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( # ` k ) e. NN ) )
15		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ k C_ A ) -> k e. Fin )
16	5, 6, 15	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ k e. ~P A ) -> k e. Fin )
17		hashnncl 13157	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Fin -> ( ( # ` k ) e. NN <-> k =/= (/) ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ k e. ~P A ) -> ( ( # ` k ) e. NN <-> k =/= (/) ) )
19	14, 18	bitr2d 269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ k e. ~P A ) -> ( k =/= (/) <-> ( # ` k ) e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) )
20		df-ne 2795	. . . . . . . 8 |- ( k =/= (/) <-> -. k = (/) )
21		risset 3062	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` k ) e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> E. n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) n = ( # ` k ) )
22	19, 20, 21	3bitr3g 302	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ k e. ~P A ) -> ( -. k = (/) <-> E. n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) n = ( # ` k ) ) )
23		velsn 4193	. . . . . . . 8 |- ( k e. { (/) } <-> k = (/) )
24	23	notbii 310	. . . . . . 7 |- ( -. k e. { (/) } <-> -. k = (/) )
25		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` k ) = n <-> n = ( # ` k ) )
26	25	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ( # ` k ) = n <-> E. n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) n = ( # ` k ) )
27	22, 24, 26	3bitr4g 303	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ k e. ~P A ) -> ( -. k e. { (/) } <-> E. n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ( # ` k ) = n ) )
28	27	rabbidva 3188	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> { k e. ~P A | -. k e. { (/) } } = { k e. ~P A | E. n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ( # ` k ) = n } )
29		dfdif2 3583	. . . . 5 |- ( ~P A \ { (/) } ) = { k e. ~P A | -. k e. { (/) } }
30		iunrab 4567	. . . . 5 |- U_ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } = { k e. ~P A | E. n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ( # ` k ) = n }
31	28, 29, 30	3eqtr4g 2681	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( ~P A \ { (/) } ) = U_ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } )
32	31	sumeq1d 14431	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> sum_ s e. ( ~P A \ { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) = sum_ s e. U_ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )
33	1, 32	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ s e. U_ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )
34		fzfid 12772	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( 1 ... ( # ` A ) ) e. Fin )
35		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> A e. Fin )
36		pwfi 8261	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )
37	35, 36	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ~P A e. Fin )
38		ssrab2 3687	. . . 4 |- { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } C_ ~P A
39		ssfi 8180	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Fin /\ { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } C_ ~P A ) -> { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } e. Fin )
40	37, 38, 39	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } e. Fin )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = s -> ( # ` k ) = ( # ` s ) )
42	41	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( k = s -> ( ( # ` k ) = n <-> ( # ` s ) = n ) )
43	42	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } <-> ( s e. ~P A /\ ( # ` s ) = n ) )
44	43	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } -> ( # ` s ) = n )
45	44	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> ( # ` s ) = n )
46	45	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> A. s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( # ` s ) = n )
47	46	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> A. n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) A. s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( # ` s ) = n )
48		invdisj 4638	. . . 4 |- ( A. n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) A. s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( # ` s ) = n -> Disj n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } )
49	47, 48	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> Disj n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } )
50	45	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> ( ( # ` s ) - 1 ) = ( n - 1 ) )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) )
52	51	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )
53		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> 1 e. CC )
54	53	negcld 10379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> -u 1 e. CC )
55		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) -> n e. NN )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> n e. NN )
57		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
59	54, 58	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
60	59	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
61		unifi 8255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> U. A e. Fin )
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> U. A e. Fin )
63	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> n e. NN )
64	45, 63	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> ( # ` s ) e. NN )
65	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> A e. Fin )
66		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } -> s e. ~P A )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> s e. ~P A )
68		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ~P A -> s C_ A )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> s C_ A )
70		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. Fin /\ s C_ A ) -> s e. Fin )
71	65, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> s e. Fin )
72		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. Fin -> ( ( # ` s ) e. NN <-> s =/= (/) ) )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> ( ( # ` s ) e. NN <-> s =/= (/) ) )
74	64, 73	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> s =/= (/) )
75		intssuni 4499	. . . . . . . . . . 11 |- ( s =/= (/) -> |^| s C_ U. s )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> |^| s C_ U. s )
77	69	unissd 4462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> U. s C_ U. A )
78	76, 77	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> |^| s C_ U. A )
79		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. A e. Fin /\ |^| s C_ U. A ) -> |^| s e. Fin )
80	62, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> |^| s e. Fin )
81		hashcl 13147	. . . . . . . 8 |- ( |^| s e. Fin -> ( # ` |^| s ) e. NN0 )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> ( # ` |^| s ) e. NN0 )
83	82	nn0cnd 11353	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> ( # ` |^| s ) e. CC )
84	60, 83	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) e. CC )
85	52, 84	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) e. CC )
86	85	anasss 679	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ ( n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) /\ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) e. CC )
87	34, 40, 49, 86	fsumiun 14553	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> sum_ s e. U_ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) sum_ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )
88	52	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> sum_ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) = sum_ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )
89	40, 59, 83	fsummulc2 14516	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. sum_ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( # ` |^| s ) ) = sum_ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) )
90	88, 89	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> sum_ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. sum_ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( # ` |^| s ) ) )
91	90	sumeq2dv 14433	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) sum_ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( ( -u 1 ^ ( ( # ` s ) - 1 ) ) x. ( # ` |^| s ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. sum_ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( # ` |^| s ) ) )
92	33, 87, 91	3eqtrd 2660	1 |- ( ( A e. Fin /\ A C_ Fin ) -> ( # ` U. A ) = sum_ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. sum_ s e. { k e. ~P A | ( # ` k ) = n } ( # ` |^| s ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   ^cexp 12860   #chash 13117   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

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