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Theorem lgsquadlem2 25106

Description: Lemma for lgsquad 25108. Count the members of

with even coordinates, and combine with lgsquadlem1 25105 to get the total count of lattice points in

(up to parity). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgseisen.1	$\$
lgseisen.2	$\$
lgseisen.3
lgsquad.4
lgsquad.5
lgsquad.6	$/\$ $/\$

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquadlem2

Distinct variable groups:

Proof of Theorem lgsquadlem2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.1	. . 3 $\$
2		lgseisen.2	. . 3 $\$
3		lgseisen.3	. . 3
4	1, 2, 3	lgseisen 25104	. 2
5		lgsquad.4	. . . . . 6
6	5	oveq2i 6661	. . . . 5
7	6	sumeq1i 14428	. . . 4
8		oddprm 15515	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
10	5, 9	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11
11	10	nnred 11035	. . . . . . . . . 10
12	11	rehalfcld 11279	. . . . . . . . 9
13	12	flcld 12599	. . . . . . . 8
14	13	zred 11482	. . . . . . 7
15	14	ltp1d 10954	. . . . . 6
16		fzdisj 12368	. . . . . 6
17	15, 16	syl 17	. . . . 5
18	10	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11
19	18	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . 10
20	19	rpge0d 11876	. . . . . . . . 9
21		flge0nn0 12621	. . . . . . . . 9 $/\$
22	12, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . 8
23	10	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8
24		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . 11
25	18, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10
26	10	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11
27		fllt 12607	. . . . . . . . . . 11 $/\$
28	12, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10
29	25, 28	mpbid 222	. . . . . . . . 9
30	14, 11, 29	ltled 10185	. . . . . . . 8
31		elfz2nn0 12431	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	22, 23, 30, 31	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7
33		nn0uz 11722	. . . . . . . . 9
34	23, 33	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8
35		elfzp12 12419	. . . . . . . 8 $\/$
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 $\/$
37	32, 36	mpbid 222	. . . . . 6 $\/$
38		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
39		fz10 12362	. . . . . . . . . 10
40	38, 39	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
41		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
42		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . 11
43	41, 42	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
45	40, 44	uneq12d 3768	. . . . . . . 8
46		un0 3967	. . . . . . . . 9
47		uncom 3757	. . . . . . . . 9
48	46, 47	eqtr3i 2646	. . . . . . . 8
49	45, 48	syl6reqr 2675	. . . . . . 7
50		fzsplit 12367	. . . . . . . 8
51	42	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
52	50, 51	eleq2s 2719	. . . . . . 7
53	49, 52	jaoi 394	. . . . . 6 $\/$
54	37, 53	syl 17	. . . . 5
55		fzfid 12772	. . . . 5
56	2	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . 12
57		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . 12
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11
59	58	nnred 11035	. . . . . . . . . 10
60	1	eldifad 3586	. . . . . . . . . . 11
61		prmnn 15388	. . . . . . . . . . 11
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10
63	59, 62	nndivred 11069	. . . . . . . . 9
64	63	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
65		2nn 11185	. . . . . . . . . 10
66		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
68		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . 10 $/\$
69	65, 67, 68	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$
70	69	nnred 11035	. . . . . . . 8 $/\$
71	64, 70	remulcld 10070	. . . . . . 7 $/\$
72	58	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11
73	62	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11
74	72, 73	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10
75	74	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
76	69	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 $/\$
77	75, 76	rpmulcld 11888	. . . . . . . 8 $/\$
78	77	rpge0d 11876	. . . . . . 7 $/\$
79		flge0nn0 12621	. . . . . . 7 $/\$
80	71, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$
81	80	nn0cnd 11353	. . . . 5 $/\$
82	17, 54, 55, 81	fsumsplit 14471	. . . 4
83	7, 82	syl5eqr 2670	. . 3
84	83	oveq2d 6666	. 2
85		neg1cn 11124	. . . . 5
86	85	a1i 11	. . . 4
87		fzfid 12772	. . . . 5
88		ssun2 3777	. . . . . . . 8
89	88, 54	syl5sseqr 3654	. . . . . . 7
90	89	sselda 3603	. . . . . 6 $/\$
91	90, 80	syldan 487	. . . . 5 $/\$
92	87, 91	fsumnn0cl 14467	. . . 4
93		fzfid 12772	. . . . 5
94		ssun1 3776	. . . . . . . 8
95	94, 54	syl5sseqr 3654	. . . . . . 7
96	95	sselda 3603	. . . . . 6 $/\$
97	96, 80	syldan 487	. . . . 5 $/\$
98	93, 97	fsumnn0cl 14467	. . . 4
99	86, 92, 98	expaddd 13010	. . 3
100		fzfid 12772	. . . . . . . . 9
101		xpfi 8231	. . . . . . . . 9 $/\$
102	55, 100, 101	syl2anc 693	. . . . . . . 8
103		lgsquad.6	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
104		opabssxp 5193	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
105	103, 104	eqsstri 3635	. . . . . . . 8
106		ssfi 8180	. . . . . . . 8 $/\$
107	102, 105, 106	sylancl 694	. . . . . . 7
108		ssrab2 3687	. . . . . . 7
109		ssfi 8180	. . . . . . 7 $/\$
110	107, 108, 109	sylancl 694	. . . . . 6
111		hashcl 13147	. . . . . 6
112	110, 111	syl 17	. . . . 5
113		ssrab2 3687	. . . . . . 7
114		ssfi 8180	. . . . . . 7 $/\$
115	107, 113, 114	sylancl 694	. . . . . 6
116		hashcl 13147	. . . . . 6
117	115, 116	syl 17	. . . . 5
118	86, 112, 117	expaddd 13010	. . . 4
119	96, 69	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 $/\$
120		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 $/\$
121		xpsnen2g 8053	. . . . . . . . . . 11 $/\$
122	119, 120, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$
123		hasheni 13136	. . . . . . . . . 10
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
125		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . 13
126	103	relopabi 5245	. . . . . . . . . . . . 13
127		relss 5206	. . . . . . . . . . . . 13
128	125, 126, 127	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12
129		relxp 5227	. . . . . . . . . . . 12
130	103	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
131		opabid 4982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	130, 131	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
133		anass 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
135	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	134, 135	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137	136	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
138	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
139	138, 119	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
140	139	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
141	140	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
142	137, 141	ltlend 10182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
143	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
144	143	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
145	135	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
146	145	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
147	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
149		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
150	149	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
151	147	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
152		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
153	152	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
154		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
155	151, 153, 154	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
156	150, 155	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
157		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
158	157	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
159	158	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
160		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
162		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
164		lemuldiv2 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
165	159, 147, 161, 163, 164	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
166	156, 165	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
167	166	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
168	145	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
169		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
170	145, 169	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
171	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
172	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
173		ltdiv1 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
174	170, 145, 171, 172, 173	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
175	168, 174	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
176	5, 175	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
177	144, 148, 146, 167, 176	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
178	135	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
179		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
180	178, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
181	144, 146, 145, 177, 180	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
182	144, 145	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
183	181, 182	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
184	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
185		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
186	184, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
187		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
188	186, 143, 187	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
189	183, 188	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
190		prmrp 15424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
191	60, 56, 190	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
192	3, 191	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
193	192	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
194	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
195		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
196	194, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
197	143	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
198		coprmdvds 15366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
199	186, 196, 197, 198	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
200	193, 199	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
201	189, 200	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
202		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
203	202	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
204		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
205	203, 186, 204	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
206		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
207	205, 206	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
208	207	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
209	201, 208	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
210	209	biantrud 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
211	142, 210	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
212		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
213	212	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
214	135	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
215		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
216	213, 141, 145, 214, 215	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
217	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
218	217	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
219	143	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
220	135	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
221	135	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
222	218, 219, 220, 221	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
223	222	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
224	211, 216, 223	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
225	217	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
226	217	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
227		ltmul2 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
228	144, 146, 225, 226, 227	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
229	177, 228	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
230		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
231		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
232	231	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
233		divass 10703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
234		div23 10704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
235	233, 234	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
236	218, 220, 230, 232, 235	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
237	229, 236	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
238	225	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
239	238, 145	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
240		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
241	137, 141, 239, 240	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
242	237, 241	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
243		ltmul1 10873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
244	213, 238, 145, 214, 243	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
245	242, 244	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
246		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
247	225, 246	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
248	247	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
249	218, 248, 230, 232	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
250		lgsquad.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
251	250	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
252	249, 251	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
253		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
254		nncan 10310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
255	218, 253, 254	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
256	255	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
257		halflt1 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
258	256, 257	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
259	252, 258	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
260		oddprm 15515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $\$
261	2, 260	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
262	250, 261	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
263	262	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
264	263	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
265		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
266	238, 264, 265	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
267	259, 266	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
268		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
269	264, 268	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
270		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
271	213, 238, 269, 270	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
272	267, 271	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
273	245, 272	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
274		nnleltp1 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
275	134, 263, 274	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
276	273, 275	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
277	276	pm4.71rd 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
278	96, 71	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
279		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
280	278, 202, 279	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
281	224, 277, 280	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
282	281	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
283	133, 282	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
284	283	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
285		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
286		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
287	119, 286	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
288	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
289		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
290	287, 288, 289	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
291	166, 290	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
292	291	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
293	285, 292	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
294	293	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
295	262	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
296	295	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
297		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
298	296, 297	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
299	294, 298	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
300		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
301	119	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
302	138	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
303	301, 302	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
304	300, 303	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
305	304	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
306	299, 305	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
307	278	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
308		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
309	307, 308	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
310	309	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
311	284, 306, 310	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
312	132, 311	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
313	312	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
314		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
315		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
316	314, 315	op1std 7178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
317	316	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
318		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . 16
319	317, 318	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15
320	319	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
321		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
322	320, 321	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
323		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
324		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . 15
325	324	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
326	323, 325	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
327	313, 322, 326	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
328	128, 129, 327	eqrelrdv 5216	. . . . . . . . . . 11 $/\$
329	328	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 $/\$
330	329	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$
331		hashfz1 13134	. . . . . . . . . 10
332	97, 331	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
333	124, 330, 332	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . 8 $/\$
334	333	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7
335	107	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
336		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 $/\$
337	335, 125, 336	sylancl 694	. . . . . . . 8 $/\$
338		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
339	338	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15
340	339	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
341	340	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13
342	341	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
343	342	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
344	158	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
345	344	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
346		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
347	231	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
348	345, 346, 347	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
349	343, 348	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
350	349	ralrimivva 2971	. . . . . . . . 9
351		invdisj 4638	. . . . . . . . 9 Disj
352	350, 351	syl 17	. . . . . . . 8 Disj
353	93, 337, 352	hashiun 14554	. . . . . . 7
354		iunrab 4567	. . . . . . . . 9
355		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14
356		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15
357	356	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
358		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
359	355, 357, 358	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
360	359	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
361	360	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . 11 $/\$
362	152	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
363	362	reximi2 3010	. . . . . . . . . . . 12
364		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
365		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
366	105, 365	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
367		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
368	366, 367	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
369	368	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
370		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
371	369, 370	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
372	364, 371	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
373		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
374	373	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
375	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
376	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
377	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
378	374, 375, 376, 377, 164	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
379	372, 378	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
380	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
381		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
382	380, 381, 154	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
383	379, 382	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
384		2t0e0 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
385		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
386	369, 385	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
387	364, 386	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
388	387	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
389	384, 388	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
390		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
391		ltmul2 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
392	390, 374, 376, 377, 391	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
393	389, 392	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
394		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
395	381, 393, 394	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
396	395, 286	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
397	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
398		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
399	396, 397, 398	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
400	383, 399	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
401	400, 364	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
402	401	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
403	402	reximdv2 3014	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
404	363, 403	impbid2 216	. . . . . . . . . . 11 $/\$
405		2z 11409	. . . . . . . . . . . 12
406		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13
407	368, 406	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
408		divides 14985	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
409	405, 407, 408	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$
410	361, 404, 409	3bitr4d 300	. . . . . . . . . 10 $/\$
411	410	rabbidva 3188	. . . . . . . . 9
412	354, 411	syl5eq 2668	. . . . . . . 8
413	412	fveq2d 6195	. . . . . . 7
414	334, 353, 413	3eqtr2d 2662	. . . . . 6
415	414	oveq2d 6666	. . . . 5
416	1, 2, 3, 5, 250, 103	lgsquadlem1 25105	. . . . 5
417	415, 416	oveq12d 6668	. . . 4
418	118, 417	eqtr4d 2659	. . 3
419		unrab 3898	. . . . . . 7 $\/$
420		exmid 431	. . . . . . . . 9 $\/$
421	420	rgenw 2924	. . . . . . . 8 $\/$
422		rabid2 3118	. . . . . . . 8 $\/$ $\/$
423	421, 422	mpbir 221	. . . . . . 7 $\/$
424	419, 423	eqtr4i 2647	. . . . . 6
425	424	fveq2i 6194	. . . . 5
426		inrab 3899	. . . . . . 7 $/\$
427		pm3.24 926	. . . . . . . . . 10 $/\$
428	427	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
429	428	ralrimivw 2967	. . . . . . . 8 $/\$
430		rabeq0 3957	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
431	429, 430	sylibr 224	. . . . . . 7 $/\$
432	426, 431	syl5eq 2668	. . . . . 6
433		hashun 13171	. . . . . 6 $/\$ $/\$
434	115, 110, 432, 433	syl3anc 1326	. . . . 5
435	425, 434	syl5reqr 2671	. . . 4
436	435	oveq2d 6666	. . 3
437	99, 418, 436	3eqtr2d 2662	. 2
438	4, 84, 437	3eqtrd 2660	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cop 4183

ciun 4520 Disj wdisj 4620 class class class wbr 4653

copab 4712

cxp 5112

wrel 5119

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1st 7166

cen 7952

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cfl 12591

cexp 12860

chash 13117

csu 14416

cdvds 14983

cgcd 15216

cprime 15385

clgs 25019

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-ec 7744 df-qs 7748 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-phi 15471 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-imas 16168 df-qus 16169 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mhm 17335 df-submnd 17336 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-nsg 17592 df-eqg 17593 df-ghm 17658 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-dvr 18683 df-rnghom 18715 df-drng 18749 df-field 18750 df-subrg 18778 df-lmod 18865 df-lss 18933 df-lsp 18972 df-sra 19172 df-rgmod 19173 df-lidl 19174 df-rsp 19175 df-2idl 19232 df-nzr 19258 df-rlreg 19283 df-domn 19284 df-idom 19285 df-cnfld 19747 df-zring 19819 df-zrh 19852 df-zn 19855 df-lgs 25020

This theorem is referenced by: lgsquadlem3 25107

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