Theorem mbfmf 30317

Description: A measurable function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmf.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
mbfmf.2	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
mbfmf.3	|- ( ph -> F e. ( SMblFnM T ) )

Assertion

Ref	Expression
mbfmf	|- ( ph -> F : U. S --> U. T )

Proof of Theorem mbfmf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmf.3	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( SMblFnM T ) )
2		mbfmf.1	. . . . 5 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
3		mbfmf.2	. . . . 5 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
4	2, 3	ismbfm 30314	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( SMblFnM T ) <-> ( F e. ( U. T ^m U. S ) /\ A. x e. T ( `' F " x ) e. S ) ) )
5	1, 4	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( U. T ^m U. S ) /\ A. x e. T ( `' F " x ) e. S ) )
6	5	simpld 475	. 2 |- ( ph -> F e. ( U. T ^m U. S ) )
7		elmapi 7879	. 2 |- ( F e. ( U. T ^m U. S ) -> F : U. S --> U. T )
8	6, 7	syl 17	1 |- ( ph -> F : U. S --> U. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  sigAlgebracsiga 30170  MblFnMcmbfm 30312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-mbfm 30313

This theorem is referenced by:  imambfm  30324  mbfmco  30326  mbfmco2  30327  mbfmvolf  30328  sibff  30398  sitgclg  30404  orvcval4  30522