Theorem tgclb 20774

Description: The property tgcl 20773 can be reversed: if the topology generated by B is actually a topology, then B must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgclb	|- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )

Proof of Theorem tgclb

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 20773	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
2		0opn 20709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> (/) e. ( topGen ` B ) )
3	2	elfvexd 6222	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. _V )
4		bastg 20770	. . . . . . . . 9 |- ( B e. _V -> B C_ ( topGen ` B ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B C_ ( topGen ` B ) )
6	5	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ x e. B ) -> x e. ( topGen ` B ) )
7	5	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ y e. B ) -> y e. ( topGen ` B ) )
8	6, 7	anim12dan 882	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) )
9		inopn 20704	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
10	9	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
11	8, 10	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
12		tg2 20769	. . . . . 6 |- ( ( ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
13	12	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
14	11, 13	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
15	14	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
16		isbasis2g 20752	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
17	3, 16	syl 17	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
18	15, 17	mpbird 247	. 2 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. TopBases )
19	1, 18	impbii 199	1 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888   topGenctg 16098   Topctop 20698   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  bastop2  20798  iocpnfordt  21019  icomnfordt  21020  iooordt  21021  tgcn  21056  tgcnp  21057  2ndcctbss  21258  2ndcomap  21261  dis2ndc  21263  flftg  21800  met2ndci  22327  xrtgioo  22609  topfneec  32350