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Theorem restbas 20962
Description: A subspace topology basis is a basis. Y is normally a subset of the base set of J. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restbas |- ( B e. TopBases -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
Proof of Theorem restbas
Dummy variables a b c u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrest 16088 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( a e. ( B ↾t A ) <-> E. u e. B a = ( u i^i A ) ) )
2 elrest 16088 . . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( b e. ( B ↾t A ) <-> E. v e. B b = ( v i^i A ) ) )
31, 2anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) <-> ( E. u e. B a = ( u i^i A ) /\ E. v e. B b = ( v i^i A ) ) ) )
4 reeanv 3107 . . . . . 6 |- ( E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) <-> ( E. u e. B a = ( u i^i A ) /\ E. v e. B b = ( v i^i A ) ) )
53, 4syl6bbr 278 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) <-> E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) ) )
6 simplll 798 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> B e. TopBases )
7 simplrl 800 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> u e. B )
8 simplrr 801 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> v e. B )
9 inss1 3833 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) C_ ( u i^i v )
10 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) )
119, 10sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> c e. ( u i^i v ) )
12 basis2 20755 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. TopBases /\ u e. B ) /\ ( v e. B /\ c e. ( u i^i v ) ) ) -> E. z e. B ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) )
136, 7, 8, 11, 12syl22anc 1327 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> E. z e. B ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) )
14 simplll 798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( B e. TopBases /\ A e. _V ) )
1514simpld 475 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> B e. TopBases )
1614simprd 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> A e. _V )
17 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> z e. B )
18 elrestr 16089 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V /\ z e. B ) -> ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
1915, 16, 17, 18syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
20 simprrl 804 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. z )
21 inss2 3834 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) C_ A
22 simplr 792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) )
2321, 22sseldi 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. A )
2420, 23elind 3798 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> c e. ( z i^i A ) )
25 simprrr 805 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> z C_ ( u i^i v ) )
26 ssrin 3838 . . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ ( u i^i v ) -> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) )
28 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( c e. w <-> c e. ( z i^i A ) ) )
29 sseq1 3626 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) <-> ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3028, 29anbi12d 747 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( z i^i A ) -> ( ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) <-> ( c e. ( z i^i A ) /\ ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
3130rspcev 3309 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z i^i A ) e. ( B ↾t A ) /\ ( c e. ( z i^i A ) /\ ( z i^i A ) C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3219, 24, 27, 31syl12anc 1324 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) /\ ( z e. B /\ ( c e. z /\ z C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3313, 32rexlimddv 3035 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) ) -> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3433ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> A. c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
35 ineq12 3809 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( a i^i b ) = ( ( u i^i A ) i^i ( v i^i A ) ) )
36 inindir 3831 . . . . . . . . 9 |- ( ( u i^i v ) i^i A ) = ( ( u i^i A ) i^i ( v i^i A ) )
3735, 36syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( a i^i b ) = ( ( u i^i v ) i^i A ) )
3837sseq2d 3633 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( w C_ ( a i^i b ) <-> w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) )
3938anbi2d 740 . . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4039rexbidv 3052 . . . . . . . 8 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4137, 40raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> ( A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) <-> A. c e. ( ( u i^i v ) i^i A ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( ( u i^i v ) i^i A ) ) ) )
4234, 41syl5ibrcom 237 . . . . . 6 |- ( ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4342rexlimdvva 3038 . . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( E. u e. B E. v e. B ( a = ( u i^i A ) /\ b = ( v i^i A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
445, 43sylbid 230 . . . 4 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( ( a e. ( B ↾t A ) /\ b e. ( B ↾t A ) ) -> A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4544ralrimivv 2970 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) )
46 ovex 6678 . . . 4 |- ( B ↾t A ) e. _V
47 isbasis2g 20752 . . . 4 |- ( ( B ↾t A ) e. _V -> ( ( B ↾t A ) e. TopBases <-> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) ) )
4846, 47ax-mp 5 . . 3 |- ( ( B ↾t A ) e. TopBases <-> A. a e. ( B ↾t A ) A. b e. ( B ↾t A ) A. c e. ( a i^i b ) E. w e. ( B ↾t A ) ( c e. w /\ w C_ ( a i^i b ) ) )
4945, 48sylibr 224 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
50 relxp 5227 . . . . . 6 |- Rel ( _V X. _V )
51 restfn 16085 . . . . . . . 8 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
52 fndm 5990 . . . . . . . 8 |- ( ↾t Fn ( _V X. _V ) -> dom ↾t = ( _V X. _V ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7 |- dom ↾t = ( _V X. _V )
5453releqi 5202 . . . . . 6 |- ( Rel dom ↾t <-> Rel ( _V X. _V ) )
5550, 54mpbir 221 . . . . 5 |- Rel dom ↾t
5655ovprc2 6685 . . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( B ↾t A ) = (/) )
5756adantl 482 . . 3 |- ( ( B e. TopBases /\ -. A e. _V ) -> ( B ↾t A ) = (/) )
58 fi0 8326 . . . 4 |- ( fi ` (/) ) = (/)
59 fibas 20781 . . . 4 |- ( fi ` (/) ) e. TopBases
6058, 59eqeltrri 2698 . . 3 |- (/) e. TopBases
6157, 60syl6eqel 2709 . 2 |- ( ( B e. TopBases /\ -. A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
6249, 61pm2.61dan 832 1 |- ( B e. TopBases -> ( B ↾t A ) e. TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ficfi 8316   ↾t crest 16081   TopBasesctb 20749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-bases 20750
This theorem is referenced by:  resttop  20964  2ndcrest  21257
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