Theorem cvmlift2lem12 31296

Description: Lemma for cvmlift2 31298. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	|- B = U. C
cvmlift2.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmlift2.g	|- ( ph -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
cvmlift2.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmlift2.i	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h	|- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) /\ ( f ` 0 ) = P ) )
cvmlift2.k	|- K = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G z ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( H ` x ) ) ) ` y ) )
cvmlift2.m	|- M = { z e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) | K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) }
cvmlift2.a	|- A = { a e. ( 0 [,] 1 ) | ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M }
cvmlift2.s	|- S = { <. r , t >. | ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) }

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem12	|- ( ph -> K e. ( ( II tX II ) Cn C ) )

Distinct variable groups:   u, f, x, y, z, F   f, a, r, t, u, x, y, z, ph   A, a, t, x   M, a, r, u, x, y, z   S, f, t, u, x, y, z   f, J, u, x, y, z   G, a, f, t, u, x, y, z   f, H, u, x, y, z   C, a, f, r, t, u, x, y, z   P, f, u, x, y, z   x, B, y, z   K, a, f, r, t, u, x, y, z

Allowed substitution hints:   A( y, z, u, f, r)   B( u, t, f, r, a)   P( t, r, a)   S( r, a)   F( t, r, a)   G( r)   H( t, r, a)   J( t, r, a)   M( t, f)

Proof of Theorem cvmlift2lem12

Dummy variables b c d k s v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. . 3 |- B = U. C
2		cvmlift2.f	. . 3 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
3		cvmlift2.g	. . 3 |- ( ph -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
4		cvmlift2.p	. . 3 |- ( ph -> P e. B )
5		cvmlift2.i	. . 3 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
6		cvmlift2.h	. . 3 |- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) /\ ( f ` 0 ) = P ) )
7		cvmlift2.k	. . 3 |- K = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G z ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( H ` x ) ) ) ` y ) )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem5 31289	. 2 |- ( ph -> K : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> B )
9		iunid 4575	. . . . . . 7 |- U_ a e. ( 0 [,] 1 ) { a } = ( 0 [,] 1 )
10	9	xpeq2i 5136	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. U_ a e. ( 0 [,] 1 ) { a } ) = ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) )
11		xpiundi 5173	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. U_ a e. ( 0 [,] 1 ) { a } ) = U_ a e. ( 0 [,] 1 ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } )
12	10, 11	eqtr3i 2646	. . . . 5 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) = U_ a e. ( 0 [,] 1 ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } )
13		cvmlift2.a	. . . . . . . 8 |- A = { a e. ( 0 [,] 1 ) | ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M }
14		iiuni 22684	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
15		iiconn 22690	. . . . . . . . . 10 |- II e. Conn
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> II e. Conn )
17		inss1 3833	. . . . . . . . . 10 |- ( II i^i ( Clsd ` II ) ) C_ II
18		iicmp 22689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- II e. Comp
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) -> II e. Comp )
20		iitop 22683	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- II e. Top
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) -> II e. Top )
22	20, 20	txtopi 21393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( II tX II ) e. Top
23	14	neiss2 20905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( II e. Top /\ u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ) -> { r } C_ ( 0 [,] 1 ) )
24	20, 23	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) -> { r } C_ ( 0 [,] 1 ) )
25		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- r e. _V
26	25	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( r e. ( 0 [,] 1 ) <-> { r } C_ ( 0 [,] 1 ) )
27	24, 26	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) -> r e. ( 0 [,] 1 ) )
28	27	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) -> ( ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) -> r e. ( 0 [,] 1 ) ) )
29	28	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) -> r e. ( 0 [,] 1 ) )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) -> r e. ( 0 [,] 1 ) )
31		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
32	30, 31	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) -> ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) )
33	32	ssopab2i 5003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { <. r , t >. | ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) } C_ { <. r , t >. | ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) }
34		cvmlift2.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- S = { <. r , t >. | ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) }
35		df-xp 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) = { <. r , t >. | ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) }
36	33, 34, 35	3sstr4i 3644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) )
37	20, 20, 14, 14	txunii 21396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) = U. ( II tX II )
38	37	ntropn 20853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( II tX II ) e. Top /\ S C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) e. ( II tX II ) )
39	22, 36, 38	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) e. ( II tX II )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) e. ( II tX II ) )
41	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
42	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
43	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> P e. B )
44	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } ) = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
46		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> b e. ( 0 [,] 1 ) )
47		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> a e. ( 0 [,] 1 ) )
48	1, 41, 42, 43, 44, 6, 7, 45, 46, 47	cvmlift2lem10 31294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> E. u e. II E. v e. II ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) )
49	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> ( II tX II ) e. Top )
50	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> S C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
51	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> II e. Top )
52		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> u e. II )
53		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> v e. II )
54		txopn 21405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( II e. Top /\ II e. Top ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) -> ( u X. v ) e. ( II tX II ) )
55	51, 51, 52, 53, 54	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> ( u X. v ) e. ( II tX II ) )
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( r e. u /\ t e. v ) -> t e. v )
57		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( t e. v /\ v e. II ) -> t e. U. II )
58	57, 14	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( t e. v /\ v e. II ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
59	56, 53, 58	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
60	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> II e. Top )
61	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> u e. II )
62		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> r e. u )
63		opnneip 20923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( II e. Top /\ u e. II /\ r e. u ) -> u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) )
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) )
65	41	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
66	42	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
67	43	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> P e. B )
68	44	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
69		cvmlift2.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- M = { z e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) | K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) }
70	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> v e. II )
71		simplr2 1104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> a e. v )
72		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> t e. v )
73		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( c = w -> { c } = { w } )
74	73	xpeq2d 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( c = w -> ( u X. { c } ) = ( u X. { w } ) )
75	74	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( c = w -> ( K |` ( u X. { c } ) ) = ( K |` ( u X. { w } ) ) )
76	74	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( c = w -> ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { c } ) ) = ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( c = w -> ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { c } ) ) Cn C ) = ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) )
78	75, 77	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = w -> ( ( K |` ( u X. { c } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { c } ) ) Cn C ) <-> ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) ) )
79	78	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( E. c e. v ( K |` ( u X. { c } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { c } ) ) Cn C ) <-> E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) )
80		simplr3 1105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) )
81	79, 80	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> ( E. c e. v ( K |` ( u X. { c } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { c } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) )
82	1, 65, 66, 67, 68, 6, 7, 69, 61, 70, 71, 72, 81	cvmlift2lem11 31295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> ( ( u X. { a } ) C_ M -> ( u X. { t } ) C_ M ) )
83	1, 65, 66, 67, 68, 6, 7, 69, 61, 70, 72, 71, 81	cvmlift2lem11 31295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> ( ( u X. { t } ) C_ M -> ( u X. { a } ) C_ M ) )
84	82, 83	impbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) )
85		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) /\ ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) -> E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) )
86	64, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) )
87	59, 86	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) /\ ( r e. u /\ t e. v ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) )
88	87	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> ( ( r e. u /\ t e. v ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) ) )
89	88	alrimivv 1856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> A. r A. t ( ( r e. u /\ t e. v ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) ) )
90		df-xp 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u X. v ) = { <. r , t >. | ( r e. u /\ t e. v ) }
91	90, 34	sseq12i 3631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u X. v ) C_ S <-> { <. r , t >. | ( r e. u /\ t e. v ) } C_ { <. r , t >. | ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) } )
92		ssopab2b 5002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( { <. r , t >. | ( r e. u /\ t e. v ) } C_ { <. r , t >. | ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) } <-> A. r A. t ( ( r e. u /\ t e. v ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) ) )
93	91, 92	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( u X. v ) C_ S <-> A. r A. t ( ( r e. u /\ t e. v ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) ) )
94	89, 93	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> ( u X. v ) C_ S )
95	37	ssntr 20862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( II tX II ) e. Top /\ S C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( ( u X. v ) e. ( II tX II ) /\ ( u X. v ) C_ S ) ) -> ( u X. v ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
96	49, 50, 55, 94, 95	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> ( u X. v ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
97		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> b e. u )
98		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> a e. v )
99		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b e. u /\ a e. v ) -> <. b , a >. e. ( u X. v ) )
100	97, 98, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> <. b , a >. e. ( u X. v ) )
101	96, 100	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) ) -> <. b , a >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
102	101	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) -> ( ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) -> <. b , a >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) ) )
103	102	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( E. u e. II E. v e. II ( b e. u /\ a e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) -> <. b , a >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) ) )
104	48, 103	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> <. b , a >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
105		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- a e. _V
106		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = a -> <. b , w >. = <. b , a >. )
107	106	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = a -> ( <. b , w >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) <-> <. b , a >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) ) )
108	105, 107	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. w e. { a } <. b , w >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) <-> <. b , a >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
109	104, 108	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> A. w e. { a } <. b , w >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
110	109	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) -> A. w e. { a } <. b , w >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
111	110	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) -> A. b e. ( 0 [,] 1 ) A. w e. { a } <. b , w >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
112		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) <-> A. u e. ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) u e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
113		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = <. b , w >. -> ( u e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) <-> <. b , w >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) ) )
114	113	ralxp 5263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. u e. ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) u e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) <-> A. b e. ( 0 [,] 1 ) A. w e. { a } <. b , w >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
115	112, 114	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) <-> A. b e. ( 0 [,] 1 ) A. w e. { a } <. b , w >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
116	111, 115	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) )
117		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) -> a e. ( 0 [,] 1 ) )
118	14, 14, 19, 21, 40, 116, 117	txtube 21443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) -> E. v e. II ( a e. v /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) ) )
119	37	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( II tX II ) e. Top /\ S C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) C_ S )
120	22, 36, 119	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) C_ S
121		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) /\ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) C_ S ) -> ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) C_ S )
122	120, 121	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) -> ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) C_ S )
123		df-xp 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) = { <. r , t >. | ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ t e. v ) }
124	123, 34	sseq12i 3631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) C_ S <-> { <. r , t >. | ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ t e. v ) } C_ { <. r , t >. | ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) } )
125		ssopab2b 5002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { <. r , t >. | ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ t e. v ) } C_ { <. r , t >. | ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) } <-> A. r A. t ( ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ t e. v ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) ) )
126		r2al 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. r e. ( 0 [,] 1 ) A. t e. v ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) <-> A. r A. t ( ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ t e. v ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) ) )
127		ralcom 3098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. r e. ( 0 [,] 1 ) A. t e. v ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) <-> A. t e. v A. r e. ( 0 [,] 1 ) ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) )
128	125, 126, 127	3bitr2i 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { <. r , t >. | ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ t e. v ) } C_ { <. r , t >. | ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) } <-> A. t e. v A. r e. ( 0 [,] 1 ) ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) )
129	124, 128	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) C_ S <-> A. t e. v A. r e. ( 0 [,] 1 ) ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) )
130	122, 129	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) -> A. t e. v A. r e. ( 0 [,] 1 ) ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) )
131		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) -> E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) )
132	131	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. r e. ( 0 [,] 1 ) ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) -> A. r e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) )
133		cvmlift2lem1 31284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. r e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { t } ) C_ M ) )
134		bicom 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) <-> ( ( u X. { t } ) C_ M <-> ( u X. { a } ) C_ M ) )
135	134	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) <-> E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { t } ) C_ M <-> ( u X. { a } ) C_ M ) )
136	135	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. r e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) <-> A. r e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { t } ) C_ M <-> ( u X. { a } ) C_ M ) )
137		cvmlift2lem1 31284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. r e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { t } ) C_ M <-> ( u X. { a } ) C_ M ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { t } ) C_ M -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M ) )
138	136, 137	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. r e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { t } ) C_ M -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M ) )
139	133, 138	impbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. r e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M <-> ( ( 0 [,] 1 ) X. { t } ) C_ M ) )
140	132, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. r e. ( 0 [,] 1 ) ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M <-> ( ( 0 [,] 1 ) X. { t } ) C_ M ) )
141	13	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a e. A <-> ( a e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M ) )
142	141	baib 944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. ( 0 [,] 1 ) -> ( a e. A <-> ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M ) )
143	142	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ v e. II ) /\ t e. v ) -> ( a e. A <-> ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M ) )
144		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v e. II -> v C_ U. II )
145	144, 14	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. II -> v C_ ( 0 [,] 1 ) )
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ v e. II ) -> v C_ ( 0 [,] 1 ) )
147	146	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ v e. II ) /\ t e. v ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
148		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( a = t -> { a } = { t } )
149	148	xpeq2d 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = t -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) = ( ( 0 [,] 1 ) X. { t } ) )
150	149	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = t -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M <-> ( ( 0 [,] 1 ) X. { t } ) C_ M ) )
151	150, 13	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t e. A <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { t } ) C_ M ) )
152	151	baib 944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) -> ( t e. A <-> ( ( 0 [,] 1 ) X. { t } ) C_ M ) )
153	147, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ v e. II ) /\ t e. v ) -> ( t e. A <-> ( ( 0 [,] 1 ) X. { t } ) C_ M ) )
154	143, 153	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ v e. II ) /\ t e. v ) -> ( ( a e. A <-> t e. A ) <-> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M <-> ( ( 0 [,] 1 ) X. { t } ) C_ M ) ) )
155	140, 154	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ v e. II ) /\ t e. v ) -> ( A. r e. ( 0 [,] 1 ) ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) -> ( a e. A <-> t e. A ) ) )
156	155	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ v e. II ) -> ( A. t e. v A. r e. ( 0 [,] 1 ) ( t e. ( 0 [,] 1 ) /\ E. u e. ( ( nei ` II ) ` { r } ) ( ( u X. { a } ) C_ M <-> ( u X. { t } ) C_ M ) ) -> A. t e. v ( a e. A <-> t e. A ) ) )
157	130, 156	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ v e. II ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) -> A. t e. v ( a e. A <-> t e. A ) ) )
158	157	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ v e. II ) -> ( ( a e. v /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) ) -> ( a e. v /\ A. t e. v ( a e. A <-> t e. A ) ) ) )
159	158	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( E. v e. II ( a e. v /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. v ) C_ ( ( int ` ( II tX II ) ) ` S ) ) -> E. v e. II ( a e. v /\ A. t e. v ( a e. A <-> t e. A ) ) ) )
160	118, 159	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ( 0 [,] 1 ) ) -> E. v e. II ( a e. v /\ A. t e. v ( a e. A <-> t e. A ) ) )
161	160	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. a e. ( 0 [,] 1 ) E. v e. II ( a e. v /\ A. t e. v ( a e. A <-> t e. A ) ) )
162		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- { a e. ( 0 [,] 1 ) | ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M } C_ ( 0 [,] 1 )
163	13, 162	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . 12 |- A C_ ( 0 [,] 1 )
164	14	isclo 20891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( II e. Top /\ A C_ ( 0 [,] 1 ) ) -> ( A e. ( II i^i ( Clsd ` II ) ) <-> A. a e. ( 0 [,] 1 ) E. v e. II ( a e. v /\ A. t e. v ( a e. A <-> t e. A ) ) ) )
165	20, 163, 164	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( II i^i ( Clsd ` II ) ) <-> A. a e. ( 0 [,] 1 ) E. v e. II ( a e. v /\ A. t e. v ( a e. A <-> t e. A ) ) )
166	161, 165	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. ( II i^i ( Clsd ` II ) ) )
167	17, 166	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. II )
168		0elunit 12290	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
170		relxp 5227	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ( ( 0 [,] 1 ) X. { 0 } )
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Rel ( ( 0 [,] 1 ) X. { 0 } ) )
172		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. r , a >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. { 0 } ) <-> ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ a e. { 0 } ) )
173		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r e. ( 0 [,] 1 ) -> r e. ( 0 [,] 1 ) )
174		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. r , 0 >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
175	173, 169, 174	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. r , 0 >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
176	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
177	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
178	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> P e. B )
179	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
180		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> r e. ( 0 [,] 1 ) )
181	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
182	1, 176, 177, 178, 179, 6, 7, 45, 180, 181	cvmlift2lem10 31294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> E. u e. II E. v e. II ( r e. u /\ 0 e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) )
183		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( r e. u /\ 0 e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) <-> ( ( r e. u /\ 0 e. v ) /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) )
184		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> 0 e. v )
185	8	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> K : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> B )
186		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( K : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> B -> K Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> K Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
188		fnov 6768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( K Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) <-> K = ( b e. ( 0 [,] 1 ) , w e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( b K w ) ) )
189	187, 188	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> K = ( b e. ( 0 [,] 1 ) , w e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( b K w ) ) )
190	189	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( K |` ( u X. { 0 } ) ) = ( ( b e. ( 0 [,] 1 ) , w e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( b K w ) ) |` ( u X. { 0 } ) ) )
191		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> u e. II )
192		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u e. II -> u C_ U. II )
193	192, 14	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u e. II -> u C_ ( 0 [,] 1 ) )
194	191, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> u C_ ( 0 [,] 1 ) )
195	169	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> { 0 } C_ ( 0 [,] 1 ) )
196	195	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> { 0 } C_ ( 0 [,] 1 ) )
197		resmpt2 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u C_ ( 0 [,] 1 ) /\ { 0 } C_ ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( b e. ( 0 [,] 1 ) , w e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( b K w ) ) |` ( u X. { 0 } ) ) = ( b e. u , w e. { 0 } |-> ( b K w ) ) )
198	194, 196, 197	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( ( b e. ( 0 [,] 1 ) , w e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( b K w ) ) |` ( u X. { 0 } ) ) = ( b e. u , w e. { 0 } |-> ( b K w ) ) )
199	194	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) /\ b e. u ) -> b e. ( 0 [,] 1 ) )
200		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ph )
201	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem8 31292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( b K 0 ) = ( H ` b ) )
202	200, 201	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) /\ b e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( b K 0 ) = ( H ` b ) )
203	199, 202	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) /\ b e. u ) -> ( b K 0 ) = ( H ` b ) )
204		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w e. { 0 } -> w = 0 )
205	204	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. { 0 } -> ( b K w ) = ( b K 0 ) )
206	205	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( w e. { 0 } -> ( ( b K w ) = ( H ` b ) <-> ( b K 0 ) = ( H ` b ) ) )
207	203, 206	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) /\ b e. u ) -> ( w e. { 0 } -> ( b K w ) = ( H ` b ) ) )
208	207	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) /\ b e. u /\ w e. { 0 } ) -> ( b K w ) = ( H ` b ) )
209	208	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( b e. u , w e. { 0 } |-> ( b K w ) ) = ( b e. u , w e. { 0 } |-> ( H ` b ) ) )
210	190, 198, 209	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( K |` ( u X. { 0 } ) ) = ( b e. u , w e. { 0 } |-> ( H ` b ) ) )
211		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( II ↾t u ) = ( II ↾t u )
212		iitopon 22682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
213	212	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
214		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( II ↾t { 0 } ) = ( II ↾t { 0 } )
215	213, 213	cnmpt1st 21471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( b e. ( 0 [,] 1 ) , w e. ( 0 [,] 1 ) |-> b ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
216	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvmlift2lem2 31286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( F o. H ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) /\ ( H ` 0 ) = P ) )
217	216	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> H e. ( II Cn C ) )
218	200, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> H e. ( II Cn C ) )
219	213, 213, 215, 218	cnmpt21f 21475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( b e. ( 0 [,] 1 ) , w e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( H ` b ) ) e. ( ( II tX II ) Cn C ) )
220	211, 213, 194, 214, 213, 196, 219	cnmpt2res 21480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( b e. u , w e. { 0 } |-> ( H ` b ) ) e. ( ( ( II ↾t u ) tX ( II ↾t { 0 } ) ) Cn C ) )
221		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- u e. _V
222		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- { 0 } e. _V
223		txrest 21434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( II e. Top /\ II e. Top ) /\ ( u e. _V /\ { 0 } e. _V ) ) -> ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { 0 } ) ) = ( ( II ↾t u ) tX ( II ↾t { 0 } ) ) )
224	20, 20, 221, 222, 223	mp4an 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { 0 } ) ) = ( ( II ↾t u ) tX ( II ↾t { 0 } ) )
225	224	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { 0 } ) ) Cn C ) = ( ( ( II ↾t u ) tX ( II ↾t { 0 } ) ) Cn C )
226	220, 225	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( b e. u , w e. { 0 } |-> ( H ` b ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { 0 } ) ) Cn C ) )
227	210, 226	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( K |` ( u X. { 0 } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { 0 } ) ) Cn C ) )
228		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w = 0 -> { w } = { 0 } )
229	228	xpeq2d 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = 0 -> ( u X. { w } ) = ( u X. { 0 } ) )
230	229	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = 0 -> ( K |` ( u X. { w } ) ) = ( K |` ( u X. { 0 } ) ) )
231	229	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = 0 -> ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) = ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { 0 } ) ) )
232	231	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = 0 -> ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) = ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { 0 } ) ) Cn C ) )
233	230, 232	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = 0 -> ( ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) <-> ( K |` ( u X. { 0 } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { 0 } ) ) Cn C ) ) )
234	233	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. v /\ ( K |` ( u X. { 0 } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { 0 } ) ) Cn C ) ) -> E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) )
235	184, 227, 234	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) )
236		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( r e. u /\ 0 e. v ) -> <. r , 0 >. e. ( u X. v ) )
237	236	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> <. r , 0 >. e. ( u X. v ) )
238		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> v e. II )
239	238, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> v C_ ( 0 [,] 1 ) )
240		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( u C_ ( 0 [,] 1 ) /\ v C_ ( 0 [,] 1 ) ) -> ( u X. v ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
241	194, 239, 240	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( u X. v ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
242	37	restuni 20966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( II tX II ) e. Top /\ ( u X. v ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( u X. v ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) )
243	22, 241, 242	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( u X. v ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) )
244	237, 243	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> <. r , 0 >. e. U. ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) )
245		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- U. ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) )
246	245	cncnpi 21082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) /\ <. r , 0 >. e. U. ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) )
247	246	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( <. r , 0 >. e. U. ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) -> ( ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) ) )
248	244, 247	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) ) )
249	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( II tX II ) e. Top )
250	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> II e. Top )
251	250, 250, 191, 238, 54	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( u X. v ) e. ( II tX II ) )
252		isopn3i 20886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( II tX II ) e. Top /\ ( u X. v ) e. ( II tX II ) ) -> ( ( int ` ( II tX II ) ) ` ( u X. v ) ) = ( u X. v ) )
253	22, 251, 252	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( ( int ` ( II tX II ) ) ` ( u X. v ) ) = ( u X. v ) )
254	237, 253	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> <. r , 0 >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` ( u X. v ) ) )
255	37, 1	cnprest 21093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( II tX II ) e. Top /\ ( u X. v ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( <. r , 0 >. e. ( ( int ` ( II tX II ) ) ` ( u X. v ) ) /\ K : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> B ) ) -> ( K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) <-> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) ) )
256	249, 241, 254, 185, 255	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) <-> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) ) )
257	248, 256	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) -> K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) ) )
258	235, 257	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) /\ ( r e. u /\ 0 e. v ) ) -> ( ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) -> K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) ) )
259	258	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) -> ( ( ( r e. u /\ 0 e. v ) /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) -> K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) ) )
260	183, 259	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( u e. II /\ v e. II ) ) -> ( ( r e. u /\ 0 e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) -> K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) ) )
261	260	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( E. u e. II E. v e. II ( r e. u /\ 0 e. v /\ ( E. w e. v ( K |` ( u X. { w } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. { w } ) ) Cn C ) -> ( K |` ( u X. v ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( u X. v ) ) Cn C ) ) ) -> K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) ) )
262	182, 261	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) )
263		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = <. r , 0 >. -> ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) = ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) )
264	263	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = <. r , 0 >. -> ( K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) <-> K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) ) )
265	264, 69	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. r , 0 >. e. M <-> ( <. r , 0 >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) /\ K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` <. r , 0 >. ) ) )
266	175, 262, 265	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. r , 0 >. e. M )
267		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. { 0 } -> a = 0 )
268	267	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. { 0 } -> <. r , a >. = <. r , 0 >. )
269	268	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. { 0 } -> ( <. r , a >. e. M <-> <. r , 0 >. e. M ) )
270	266, 269	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( a e. { 0 } -> <. r , a >. e. M ) )
271	270	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( r e. ( 0 [,] 1 ) /\ a e. { 0 } ) -> <. r , a >. e. M ) )
272	172, 271	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( <. r , a >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. { 0 } ) -> <. r , a >. e. M ) )
273	171, 272	relssdv 5212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { 0 } ) C_ M )
274		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = 0 -> { a } = { 0 } )
275	274	xpeq2d 5139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = 0 -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) = ( ( 0 [,] 1 ) X. { 0 } ) )
276	275	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = 0 -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M <-> ( ( 0 [,] 1 ) X. { 0 } ) C_ M ) )
277	276, 13	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. A <-> ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { 0 } ) C_ M ) )
278	169, 273, 277	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. A )
279		ne0i 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. A -> A =/= (/) )
280	278, 279	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A =/= (/) )
281		inss2 3834	. . . . . . . . . 10 |- ( II i^i ( Clsd ` II ) ) C_ ( Clsd ` II )
282	281, 166	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. ( Clsd ` II ) )
283	14, 16, 167, 280, 282	connclo 21218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = ( 0 [,] 1 ) )
284	13, 283	syl5reqr 2671	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 [,] 1 ) = { a e. ( 0 [,] 1 ) | ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M } )
285		rabid2 3118	. . . . . . 7 |- ( ( 0 [,] 1 ) = { a e. ( 0 [,] 1 ) | ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M } <-> A. a e. ( 0 [,] 1 ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M )
286	284, 285	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. ( 0 [,] 1 ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M )
287		iunss 4561	. . . . . 6 |- ( U_ a e. ( 0 [,] 1 ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M <-> A. a e. ( 0 [,] 1 ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M )
288	286, 287	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> U_ a e. ( 0 [,] 1 ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { a } ) C_ M )
289	12, 288	syl5eqss 3649	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) C_ M )
290	289, 69	syl6sseq 3651	. . 3 |- ( ph -> ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) C_ { z e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) | K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) } )
291		ssrab 3680	. . . 4 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) C_ { z e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) | K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) } <-> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) /\ A. z e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) ) )
292	291	simprbi 480	. . 3 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) C_ { z e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) | K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) } -> A. z e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) )
293	290, 292	syl 17	. 2 |- ( ph -> A. z e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) )
294		txtopon 21394	. . . 4 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( II tX II ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) )
295	212, 212, 294	mp2an 708	. . 3 |- ( II tX II ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
296		cvmtop1 31242	. . . . 5 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
297	2, 296	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> C e. Top )
298	1	toptopon 20722	. . . 4 |- ( C e. Top <-> C e. (TopOn ` B ) )
299	297, 298	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> C e. (TopOn ` B ) )
300		cncnp 21084	. . 3 |- ( ( ( II tX II ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ C e. (TopOn ` B ) ) -> ( K e. ( ( II tX II ) Cn C ) <-> ( K : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> B /\ A. z e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) ) ) )
301	295, 299, 300	sylancr 695	. 2 |- ( ph -> ( K e. ( ( II tX II ) Cn C ) <-> ( K : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> B /\ A. z e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) K e. ( ( ( II tX II ) CnP C ) ` z ) ) ) )
302	8, 293, 301	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> K e. ( ( II tX II ) Cn C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   1c1 9937   [,]cicc 12178   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   intcnt 20821   neicnei 20901   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   Compccmp 21189  Conncconn 21214   tX ctx 21363   Homeochmeo 21556   IIcii 22678   CovMap ccvm 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-conn 21215  df-lly 21269  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pconn 31203  df-sconn 31204  df-cvm 31238

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem13  31297