Theorem isfne4b 32336

Description: A condition for a topology to be finer than another. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfne.1	|- X = U. A
isfne.2	|- Y = U. B

Assertion

Ref	Expression
isfne4b	|- ( B e. V -> ( A Fne B <-> ( X = Y /\ ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` B ) ) ) )

Proof of Theorem isfne4b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ X = Y ) -> X = Y )
2		isfne.1	. . . . . . 7 |- X = U. A
3		isfne.2	. . . . . . 7 |- Y = U. B
4	1, 2, 3	3eqtr3g 2679	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ X = Y ) -> U. A = U. B )
5		uniexg 6955	. . . . . . 7 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
6	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ X = Y ) -> U. B e. _V )
7	4, 6	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ X = Y ) -> U. A e. _V )
8		uniexb 6973	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )
9	7, 8	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ X = Y ) -> A e. _V )
10		simpl 473	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ X = Y ) -> B e. V )
11		tgss3 20790	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` B ) <-> A C_ ( topGen ` B ) ) )
12	9, 10, 11	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( B e. V /\ X = Y ) -> ( ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` B ) <-> A C_ ( topGen ` B ) ) )
13	12	pm5.32da 673	. 2 |- ( B e. V -> ( ( X = Y /\ ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` B ) ) <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) ) )
14	2, 3	isfne4 32335	. 2 |- ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) )
15	13, 14	syl6rbbr 279	1 |- ( B e. V -> ( A Fne B <-> ( X = Y /\ ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   topGenctg 16098   Fnecfne 32331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-fne 32332

This theorem is referenced by:  fnetr  32346  fneval  32347