Theorem isfth 16574

Description: Value of the set of faithful functors between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isfth.b	|- B = ( Base ` C )

Assertion

Ref	Expression
isfth	|- ( F ( C Faith D ) G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, C, y   x, D, y   x, F, y   x, G, y

Proof of Theorem isfth

Dummy variables c d f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthfunc 16567	. . 3 |- ( C Faith D ) C_ ( C Func D )
2	1	ssbri 4697	. 2 |- ( F ( C Faith D ) G -> F ( C Func D ) G )
3		df-br 4654	. . . . . . 7 |- ( F ( C Func D ) G <-> <. F , G >. e. ( C Func D ) )
4		funcrcl 16523	. . . . . . 7 |- ( <. F , G >. e. ( C Func D ) -> ( C e. Cat /\ D e. Cat ) )
5	3, 4	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( F ( C Func D ) G -> ( C e. Cat /\ D e. Cat ) )
6		oveq12 6659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> ( c Func d ) = ( C Func D ) )
7	6	breqd 4664	. . . . . . . . 9 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> ( f ( c Func d ) g <-> f ( C Func D ) g ) )
8		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> c = C )
9	8	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> ( Base ` c ) = ( Base ` C ) )
10		isfth.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` C )
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> ( Base ` c ) = B )
12	11	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> ( A. y e. ( Base ` c ) Fun `' ( x g y ) <-> A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) )
13	11, 12	raleqbidv 3152	. . . . . . . . 9 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> ( A. x e. ( Base ` c ) A. y e. ( Base ` c ) Fun `' ( x g y ) <-> A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) )
14	7, 13	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> ( ( f ( c Func d ) g /\ A. x e. ( Base ` c ) A. y e. ( Base ` c ) Fun `' ( x g y ) ) <-> ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) ) )
15	14	opabbidv 4716	. . . . . . 7 |- ( ( c = C /\ d = D ) -> { <. f , g >. | ( f ( c Func d ) g /\ A. x e. ( Base ` c ) A. y e. ( Base ` c ) Fun `' ( x g y ) ) } = { <. f , g >. | ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) } )
16		df-fth 16565	. . . . . . 7 |- Faith = ( c e. Cat , d e. Cat |-> { <. f , g >. | ( f ( c Func d ) g /\ A. x e. ( Base ` c ) A. y e. ( Base ` c ) Fun `' ( x g y ) ) } )
17		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( C Func D ) e. _V
18		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) -> f ( C Func D ) g )
19	18	ssopab2i 5003	. . . . . . . . 9 |- { <. f , g >. | ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) } C_ { <. f , g >. | f ( C Func D ) g }
20		opabss 4714	. . . . . . . . 9 |- { <. f , g >. | f ( C Func D ) g } C_ ( C Func D )
21	19, 20	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- { <. f , g >. | ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) } C_ ( C Func D )
22	17, 21	ssexi 4803	. . . . . . 7 |- { <. f , g >. | ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) } e. _V
23	15, 16, 22	ovmpt2a 6791	. . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ D e. Cat ) -> ( C Faith D ) = { <. f , g >. | ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) } )
24	5, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( F ( C Func D ) G -> ( C Faith D ) = { <. f , g >. | ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) } )
25	24	breqd 4664	. . . 4 |- ( F ( C Func D ) G -> ( F ( C Faith D ) G <-> F { <. f , g >. | ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) } G ) )
26		relfunc 16522	. . . . . 6 |- Rel ( C Func D )
27		brrelex12 5155	. . . . . 6 |- ( ( Rel ( C Func D ) /\ F ( C Func D ) G ) -> ( F e. _V /\ G e. _V ) )
28	26, 27	mpan 706	. . . . 5 |- ( F ( C Func D ) G -> ( F e. _V /\ G e. _V ) )
29		breq12 4658	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( f ( C Func D ) g <-> F ( C Func D ) G ) )
30		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> g = G )
31	30	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( x g y ) = ( x G y ) )
32	31	cnveqd 5298	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> `' ( x g y ) = `' ( x G y ) )
33	32	funeqd 5910	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( Fun `' ( x g y ) <-> Fun `' ( x G y ) ) )
34	33	2ralbidv 2989	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) <-> A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) )
35	29, 34	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) ) )
36		eqid 2622	. . . . . 6 |- { <. f , g >. | ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) } = { <. f , g >. | ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) }
37	35, 36	brabga 4989	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) -> ( F { <. f , g >. | ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) } G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) ) )
38	28, 37	syl 17	. . . 4 |- ( F ( C Func D ) G -> ( F { <. f , g >. | ( f ( C Func D ) g /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x g y ) ) } G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) ) )
39	25, 38	bitrd 268	. . 3 |- ( F ( C Func D ) G -> ( F ( C Faith D ) G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) ) )
40	39	bianabs 924	. 2 |- ( F ( C Func D ) G -> ( F ( C Faith D ) G <-> A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) )
41	2, 40	biadan2 674	1 |- ( F ( C Faith D ) G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   `'ccnv 5113   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Catccat 16325   Func cfunc 16514   Faith cfth 16563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-func 16518  df-fth 16565

This theorem is referenced by:  isfth2  16575  fthpropd  16581  fthoppc  16583  fthres2b  16590  fthres2c  16591  fthres2  16592