Theorem funcrcl 16523

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	|- ( F e. ( D Func E ) -> ( D e. Cat /\ E e. Cat ) )

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables f b g m n t u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 16518	. 2 |- Func = ( t e. Cat , u e. Cat |-> { <. f , g >. | [. ( Base ` t ) / b ]. ( f : b --> ( Base ` u ) /\ g e. X_ z e. ( b X. b ) ( ( ( f ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` u ) ( f ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` t ) ` z ) ) /\ A. x e. b ( ( ( x g x ) ` ( ( Id ` t ) ` x ) ) = ( ( Id ` u ) ` ( f ` x ) ) /\ A. y e. b A. z e. b A. m e. ( x ( Hom ` t ) y ) A. n e. ( y ( Hom ` t ) z ) ( ( x g z ) ` ( n ( <. x , y >. (comp ` t ) z ) m ) ) = ( ( ( y g z ) ` n ) ( <. ( f ` x ) , ( f ` y ) >. (comp ` u ) ( f ` z ) ) ( ( x g y ) ` m ) ) ) ) } )
2	1	elmpt2cl 6876	1 |- ( F e. ( D Func E ) -> ( D e. Cat /\ E e. Cat ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [.wsbc 3435   <.cop 4183   {copab 4712   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326   Func cfunc 16514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-func 16518

This theorem is referenced by:  funcf1  16526  funcixp  16527  funcid  16530  funcco  16531  funcsect  16532  funcinv  16533  funciso  16534  funcoppc  16535  cofucl  16548  cofulid  16550  cofurid  16551  funcres  16556  funcres2b  16557  funcpropd  16560  funcres2c  16561  isfull  16570  isfth  16574  fthsect  16585  fthinv  16586  fthmon  16587  fthepi  16588  ffthiso  16589  natfval  16606  fucbas  16620  fuchom  16621  fucco  16622  fuccocl  16624  fucidcl  16625  fuclid  16626  fucrid  16627  fucass  16628  fucid  16631  fucsect  16632  fucinv  16633  invfuc  16634  fuciso  16635  funcsetcres2  16743  prfcl  16843  prf1st  16844  prf2nd  16845  curf1cl  16868  curfcl  16872  uncfval  16874  uncfcl  16875  uncf1  16876  uncf2  16877  curfuncf  16878  uncfcurf  16879  yonffthlem  16922  yoneda  16923