Theorem fthoppc 16583

Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	|- O = (oppCat ` C )
fulloppc.p	|- P = (oppCat ` D )
fthoppc.f	|- ( ph -> F ( C Faith D ) G )

Assertion

Ref	Expression
fthoppc	|- ( ph -> F ( O Faith P )tpos G )

Proof of Theorem fthoppc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 |- O = (oppCat ` C )
2		fulloppc.p	. . 3 |- P = (oppCat ` D )
3		fthoppc.f	. . . 4 |- ( ph -> F ( C Faith D ) G )
4		fthfunc 16567	. . . . 5 |- ( C Faith D ) C_ ( C Func D )
5	4	ssbri 4697	. . . 4 |- ( F ( C Faith D ) G -> F ( C Func D ) G )
6	3, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> F ( C Func D ) G )
7	1, 2, 6	funcoppc 16535	. 2 |- ( ph -> F ( O Func P )tpos G )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
11	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> F ( C Faith D ) G )
12		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
13		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fthf1 16577	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) )
15		df-f1 5893	. . . . . 6 |- ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) <-> ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) --> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) /\ Fun `' ( y G x ) ) )
16	15	simprbi 480	. . . . 5 |- ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) -> Fun `' ( y G x ) )
17	14, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> Fun `' ( y G x ) )
18		ovtpos 7367	. . . . . 6 |- ( xtpos G y ) = ( y G x )
19	18	cnveqi 5297	. . . . 5 |- `' ( xtpos G y ) = `' ( y G x )
20	19	funeqi 5909	. . . 4 |- ( Fun `' ( xtpos G y ) <-> Fun `' ( y G x ) )
21	17, 20	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> Fun `' ( xtpos G y ) )
22	21	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) Fun `' ( xtpos G y ) )
23	1, 8	oppcbas 16378	. . 3 |- ( Base ` C ) = ( Base ` O )
24	23	isfth 16574	. 2 |- ( F ( O Faith P )tpos G <-> ( F ( O Func P )tpos G /\ A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) Fun `' ( xtpos G y ) ) )
25	7, 22, 24	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> F ( O Faith P )tpos G )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  tpos ctpos 7351   Basecbs 15857   Hom chom 15952  oppCatcoppc 16371   Func cfunc 16514   Faith cfth 16563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-oppc 16372  df-func 16518  df-fth 16565

This theorem is referenced by:  ffthoppc  16584  fthepi  16588