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Theorem isismt 25429
Description: Property of being an isometry. Compare with isismty 33600. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isismt.b |- B = ( Base ` G )
isismt.p |- P = ( Base ` H )
isismt.d |- D = ( dist ` G )
isismt.m |- .- = ( dist ` H )
Assertion
Ref Expression
isismt |- ( ( G e. V /\ H e. W ) -> ( F e. ( GIsmt H ) <-> ( F : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( F ` a ) .- ( F ` b ) ) = ( a D b ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, a, b   F, a, b   G, a, b   H, a, b
Allowed substitution hints:   D( a, b)   P( a, b)   .- ( a, b)   V( a, b)   W( a, b)
Proof of Theorem isismt
Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3212 . . . 4 |- ( G e. V -> G e. _V )
2 elex 3212 . . . 4 |- ( H e. W -> H e. _V )
3 eqidd 2623 . . . . . . . 8 |- ( g = G -> f = f )
4 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = ( Base ` G ) )
5 isismt.b . . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
64, 5syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = B )
7 eqidd 2623 . . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( Base ` h ) = ( Base ` h ) )
83, 6, 7f1oeq123d 6133 . . . . . . 7 |- ( g = G -> ( f : ( Base ` g ) -1-1-onto-> ( Base ` h ) <-> f : B -1-1-onto-> ( Base ` h ) ) )
9 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g = G -> ( dist ` g ) = ( dist ` G ) )
10 isismt.d . . . . . . . . . . . 12 |- D = ( dist ` G )
119, 10syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( g = G -> ( dist ` g ) = D )
1211oveqd 6667 . . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( a ( dist ` g ) b ) = ( a D b ) )
1312eqeq2d 2632 . . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a ( dist ` g ) b ) <-> ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) )
146, 13raleqbidv 3152 . . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( A. b e. ( Base ` g ) ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a ( dist ` g ) b ) <-> A. b e. B ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) )
156, 14raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( g = G -> ( A. a e. ( Base ` g ) A. b e. ( Base ` g ) ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a ( dist ` g ) b ) <-> A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) )
168, 15anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( f : ( Base ` g ) -1-1-onto-> ( Base ` h ) /\ A. a e. ( Base ` g ) A. b e. ( Base ` g ) ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a ( dist ` g ) b ) ) <-> ( f : B -1-1-onto-> ( Base ` h ) /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) ) )
1716abbidv 2741 . . . . 5 |- ( g = G -> { f | ( f : ( Base ` g ) -1-1-onto-> ( Base ` h ) /\ A. a e. ( Base ` g ) A. b e. ( Base ` g ) ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a ( dist ` g ) b ) ) } = { f | ( f : B -1-1-onto-> ( Base ` h ) /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) } )
18 eqidd 2623 . . . . . . . 8 |- ( h = H -> f = f )
19 eqidd 2623 . . . . . . . 8 |- ( h = H -> B = B )
20 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( h = H -> ( Base ` h ) = ( Base ` H ) )
21 isismt.p . . . . . . . . 9 |- P = ( Base ` H )
2220, 21syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( Base ` h ) = P )
2318, 19, 22f1oeq123d 6133 . . . . . . 7 |- ( h = H -> ( f : B -1-1-onto-> ( Base ` h ) <-> f : B -1-1-onto-> P ) )
24 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( h = H -> ( dist ` h ) = ( dist ` H ) )
25 isismt.m . . . . . . . . . . 11 |- .- = ( dist ` H )
2624, 25syl6eqr 2674 . . . . . . . . . 10 |- ( h = H -> ( dist ` h ) = .- )
2726oveqd 6667 . . . . . . . . 9 |- ( h = H -> ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) )
2827eqeq1d 2624 . . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a D b ) <-> ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) )
29282ralbidv 2989 . . . . . . 7 |- ( h = H -> ( A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a D b ) <-> A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) )
3023, 29anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( h = H -> ( ( f : B -1-1-onto-> ( Base ` h ) /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) <-> ( f : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) ) )
3130abbidv 2741 . . . . 5 |- ( h = H -> { f | ( f : B -1-1-onto-> ( Base ` h ) /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) } = { f | ( f : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) } )
32 df-ismt 25428 . . . . 5 |- Ismt = ( g e. _V , h e. _V |-> { f | ( f : ( Base ` g ) -1-1-onto-> ( Base ` h ) /\ A. a e. ( Base ` g ) A. b e. ( Base ` g ) ( ( f ` a ) ( dist ` h ) ( f ` b ) ) = ( a ( dist ` g ) b ) ) } )
33 ovex 6678 . . . . . 6 |- ( P ^m B ) e. _V
34 f1of 6137 . . . . . . . . 9 |- ( f : B -1-1-onto-> P -> f : B --> P )
35 fvex 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` H ) e. _V
3621, 35eqeltri 2697 . . . . . . . . . 10 |- P e. _V
37 fvex 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` G ) e. _V
385, 37eqeltri 2697 . . . . . . . . . 10 |- B e. _V
3936, 38elmap 7886 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( P ^m B ) <-> f : B --> P )
4034, 39sylibr 224 . . . . . . . 8 |- ( f : B -1-1-onto-> P -> f e. ( P ^m B ) )
4140adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( f : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) -> f e. ( P ^m B ) )
4241abssi 3677 . . . . . 6 |- { f | ( f : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) } C_ ( P ^m B )
4333, 42ssexi 4803 . . . . 5 |- { f | ( f : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) } e. _V
4417, 31, 32, 43ovmpt2 6796 . . . 4 |- ( ( G e. _V /\ H e. _V ) -> ( GIsmt H ) = { f | ( f : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) } )
451, 2, 44syl2an 494 . . 3 |- ( ( G e. V /\ H e. W ) -> ( GIsmt H ) = { f | ( f : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) } )
4645eleq2d 2687 . 2 |- ( ( G e. V /\ H e. W ) -> ( F e. ( GIsmt H ) <-> F e. { f | ( f : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) } ) )
47 f1of 6137 . . . . 5 |- ( F : B -1-1-onto-> P -> F : B --> P )
48 fex 6490 . . . . 5 |- ( ( F : B --> P /\ B e. _V ) -> F e. _V )
4947, 38, 48sylancl 694 . . . 4 |- ( F : B -1-1-onto-> P -> F e. _V )
5049adantr 481 . . 3 |- ( ( F : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( F ` a ) .- ( F ` b ) ) = ( a D b ) ) -> F e. _V )
51 f1oeq1 6127 . . . 4 |- ( f = F -> ( f : B -1-1-onto-> P <-> F : B -1-1-onto-> P ) )
52 fveq1 6190 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` a ) = ( F ` a ) )
53 fveq1 6190 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` b ) = ( F ` b ) )
5452, 53oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( ( F ` a ) .- ( F ` b ) ) )
5554eqeq1d 2624 . . . . 5 |- ( f = F -> ( ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) <-> ( ( F ` a ) .- ( F ` b ) ) = ( a D b ) ) )
56552ralbidv 2989 . . . 4 |- ( f = F -> ( A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) <-> A. a e. B A. b e. B ( ( F ` a ) .- ( F ` b ) ) = ( a D b ) ) )
5751, 56anbi12d 747 . . 3 |- ( f = F -> ( ( f : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) <-> ( F : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( F ` a ) .- ( F ` b ) ) = ( a D b ) ) ) )
5850, 57elab3 3358 . 2 |- ( F e. { f | ( f : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( f ` a ) .- ( f ` b ) ) = ( a D b ) ) } <-> ( F : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( F ` a ) .- ( F ` b ) ) = ( a D b ) ) )
5946, 58syl6bb 276 1 |- ( ( G e. V /\ H e. W ) -> ( F e. ( GIsmt H ) <-> ( F : B -1-1-onto-> P /\ A. a e. B A. b e. B ( ( F ` a ) .- ( F ` b ) ) = ( a D b ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   distcds 15950  Ismtcismt 25427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-ismt 25428
This theorem is referenced by:  ismot  25430
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