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Theorem ismtyval 33599
Description: The set of isometries between two metric spaces. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtyval |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( M Ismty N ) = { f | ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) } )
Distinct variable groups:   f, M, x, y   f, N, x, y   f, X, x, y   f, Y, x, y
Proof of Theorem ismtyval
Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ismty 33598 . . 3 |- Ismty = ( m e. U. ran *Met , n e. U. ran *Met |-> { f | ( f : dom dom m -1-1-onto-> dom dom n /\ A. x e. dom dom m A. y e. dom dom m ( x m y ) = ( ( f ` x ) n ( f ` y ) ) ) } )
21a1i 11 . 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> Ismty = ( m e. U. ran *Met , n e. U. ran *Met |-> { f | ( f : dom dom m -1-1-onto-> dom dom n /\ A. x e. dom dom m A. y e. dom dom m ( x m y ) = ( ( f ` x ) n ( f ` y ) ) ) } ) )
3 dmeq 5324 . . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> dom m = dom M )
4 xmetf 22134 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR* )
5 fdm 6051 . . . . . . . . . . 11 |- ( M : ( X X. X ) --> RR* -> dom M = ( X X. X ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> dom M = ( X X. X ) )
73, 6sylan9eqr 2678 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ m = M ) -> dom m = ( X X. X ) )
87ad2ant2r 783 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> dom m = ( X X. X ) )
98dmeqd 5326 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> dom dom m = dom ( X X. X ) )
10 dmxpid 5345 . . . . . . 7 |- dom ( X X. X ) = X
119, 10syl6eq 2672 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> dom dom m = X )
12 f1oeq2 6128 . . . . . 6 |- ( dom dom m = X -> ( f : dom dom m -1-1-onto-> dom dom n <-> f : X -1-1-onto-> dom dom n ) )
1311, 12syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> ( f : dom dom m -1-1-onto-> dom dom n <-> f : X -1-1-onto-> dom dom n ) )
14 dmeq 5324 . . . . . . . . . 10 |- ( n = N -> dom n = dom N )
15 xmetf 22134 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> N : ( Y X. Y ) --> RR* )
16 fdm 6051 . . . . . . . . . . 11 |- ( N : ( Y X. Y ) --> RR* -> dom N = ( Y X. Y ) )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> dom N = ( Y X. Y ) )
1814, 17sylan9eqr 2678 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ n = N ) -> dom n = ( Y X. Y ) )
1918ad2ant2l 782 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> dom n = ( Y X. Y ) )
2019dmeqd 5326 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> dom dom n = dom ( Y X. Y ) )
21 dmxpid 5345 . . . . . . 7 |- dom ( Y X. Y ) = Y
2220, 21syl6eq 2672 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> dom dom n = Y )
23 f1oeq3 6129 . . . . . 6 |- ( dom dom n = Y -> ( f : X -1-1-onto-> dom dom n <-> f : X -1-1-onto-> Y ) )
2422, 23syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> ( f : X -1-1-onto-> dom dom n <-> f : X -1-1-onto-> Y ) )
2513, 24bitrd 268 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> ( f : dom dom m -1-1-onto-> dom dom n <-> f : X -1-1-onto-> Y ) )
26 oveq 6656 . . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( x m y ) = ( x M y ) )
27 oveq 6656 . . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( ( f ` x ) n ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) )
2826, 27eqeqan12d 2638 . . . . . . 7 |- ( ( m = M /\ n = N ) -> ( ( x m y ) = ( ( f ` x ) n ( f ` y ) ) <-> ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) )
2928adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> ( ( x m y ) = ( ( f ` x ) n ( f ` y ) ) <-> ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) )
3011, 29raleqbidv 3152 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> ( A. y e. dom dom m ( x m y ) = ( ( f ` x ) n ( f ` y ) ) <-> A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) )
3111, 30raleqbidv 3152 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> ( A. x e. dom dom m A. y e. dom dom m ( x m y ) = ( ( f ` x ) n ( f ` y ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) )
3225, 31anbi12d 747 . . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> ( ( f : dom dom m -1-1-onto-> dom dom n /\ A. x e. dom dom m A. y e. dom dom m ( x m y ) = ( ( f ` x ) n ( f ` y ) ) ) <-> ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) ) )
3332abbidv 2741 . 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( m = M /\ n = N ) ) -> { f | ( f : dom dom m -1-1-onto-> dom dom n /\ A. x e. dom dom m A. y e. dom dom m ( x m y ) = ( ( f ` x ) n ( f ` y ) ) ) } = { f | ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) } )
34 fvssunirn 6217 . . 3 |- ( *Met ` X ) C_ U. ran *Met
35 simpl 473 . . 3 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
3634, 35sseldi 3601 . 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> M e. U. ran *Met )
37 fvssunirn 6217 . . 3 |- ( *Met ` Y ) C_ U. ran *Met
38 simpr 477 . . 3 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
3937, 38sseldi 3601 . 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> N e. U. ran *Met )
40 f1of 6137 . . . . . 6 |- ( f : X -1-1-onto-> Y -> f : X --> Y )
4140adantr 481 . . . . 5 |- ( ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) -> f : X --> Y )
42 elfvdm 6220 . . . . . 6 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> Y e. dom *Met )
43 elfvdm 6220 . . . . . 6 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
44 elmapg 7870 . . . . . 6 |- ( ( Y e. dom *Met /\ X e. dom *Met ) -> ( f e. ( Y ^m X ) <-> f : X --> Y ) )
4542, 43, 44syl2anr 495 . . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( f e. ( Y ^m X ) <-> f : X --> Y ) )
4641, 45syl5ibr 236 . . . 4 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) -> f e. ( Y ^m X ) ) )
4746abssdv 3676 . . 3 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> { f | ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) } C_ ( Y ^m X ) )
48 ovex 6678 . . . 4 |- ( Y ^m X ) e. _V
4948ssex 4802 . . 3 |- ( { f | ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) } C_ ( Y ^m X ) -> { f | ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) } e. _V )
5047, 49syl 17 . 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> { f | ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) } e. _V )
512, 33, 36, 39, 50ovmpt2d 6788 1 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( M Ismty N ) = { f | ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   RR*cxr 10073   *Metcxmt 19731   Ismty cismty 33597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-xr 10078  df-xmet 19739  df-ismty 33598
This theorem is referenced by:  isismty  33600
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