Theorem isnirred 18700

Description: The property of being a non-irreducible (reducible) element in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irred.1	|- B = ( Base ` R )
irred.2	|- U = (Unit ` R )
irred.3	|- I = (Irred ` R )
irred.4	|- N = ( B \ U )
irred.5	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
isnirred	|- ( X e. B -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, N   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   .x. ( x, y)   U( x, y)   I( x, y)

Proof of Theorem isnirred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irred.4	. . . . . . 7 |- N = ( B \ U )
2	1	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( X e. N <-> X e. ( B \ U ) )
3		eldif 3584	. . . . . 6 |- ( X e. ( B \ U ) <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
4	2, 3	bitri 264	. . . . 5 |- ( X e. N <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
5	4	baibr 945	. . . 4 |- ( X e. B -> ( -. X e. U <-> X e. N ) )
6		df-ne 2795	. . . . . . . . 9 |- ( ( x .x. y ) =/= X <-> -. ( x .x. y ) = X )
7	6	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. y e. N -. ( x .x. y ) = X )
8		ralnex 2992	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. N -. ( x .x. y ) = X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
9	7, 8	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
10	9	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X )
11		ralnex 2992	. . . . . 6 |- ( A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X )
12	10, 11	bitr2i 265	. . . . 5 |- ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X )
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( X e. B -> ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) )
14	5, 13	anbi12d 747	. . 3 |- ( X e. B -> ( ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) ) )
15		ioran 511	. . 3 |- ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) )
16		irred.1	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
17		irred.2	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
18		irred.3	. . . 4 |- I = (Irred ` R )
19		irred.5	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
20	16, 17, 18, 1, 19	isirred 18699	. . 3 |- ( X e. I <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) )
21	14, 15, 20	3bitr4g 303	. 2 |- ( X e. B -> ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> X e. I ) )
22	21	con1bid 345	1 |- ( X e. B -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Unitcui 18639  Irredcir 18640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-irred 18643

This theorem is referenced by:  irredn0  18703  irredrmul  18707