Theorem isirred2 18701

Description: Expand out the class difference from isirred 18699. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isirred2.1	|- B = ( Base ` R )
isirred2.2	|- U = (Unit ` R )
isirred2.3	|- I = (Irred ` R )
isirred2.4	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
isirred2	|- ( X e. I <-> ( X e. B /\ -. X e. U /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, R, y   x, U, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)   I( x, y)

Proof of Theorem isirred2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3584	. . 3 |- ( X e. ( B \ U ) <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) )
2		eldif 3584	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( B \ U ) <-> ( x e. B /\ -. x e. U ) )
3		eldif 3584	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( B \ U ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U ) )
4	2, 3	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) <-> ( ( x e. B /\ -. x e. U ) /\ ( y e. B /\ -. y e. U ) ) )
5		an4 865	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. B /\ -. x e. U ) /\ ( y e. B /\ -. y e. U ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( -. x e. U /\ -. y e. U ) ) )
6	4, 5	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( -. x e. U /\ -. y e. U ) ) )
7	6	imbi1i 339	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( -. x e. U /\ -. y e. U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) )
8		impexp 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( -. x e. U /\ -. y e. U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( -. x e. U /\ -. y e. U ) -> ( x .x. y ) =/= X ) ) )
9		pm4.56 516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. x e. U /\ -. y e. U ) <-> -. ( x e. U \/ y e. U ) )
10		df-ne 2795	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x .x. y ) =/= X <-> -. ( x .x. y ) = X )
11	9, 10	imbi12i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. x e. U /\ -. y e. U ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( -. ( x e. U \/ y e. U ) -> -. ( x .x. y ) = X ) )
12		con34b 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) <-> ( -. ( x e. U \/ y e. U ) -> -. ( x .x. y ) = X ) )
13	11, 12	bitr4i 267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. x e. U /\ -. y e. U ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) )
14	13	imbi2i 326	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( -. x e. U /\ -. y e. U ) -> ( x .x. y ) =/= X ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
15	8, 14	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( -. x e. U /\ -. y e. U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
16	7, 15	bitri 264	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
17	16	2albii 1748	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) <-> A. x A. y ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
18		r2al 2939	. . . 4 |- ( A. x e. ( B \ U ) A. y e. ( B \ U ) ( x .x. y ) =/= X <-> A. x A. y ( ( x e. ( B \ U ) /\ y e. ( B \ U ) ) -> ( x .x. y ) =/= X ) )
19		r2al 2939	. . . 4 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
20	17, 18, 19	3bitr4i 292	. . 3 |- ( A. x e. ( B \ U ) A. y e. ( B \ U ) ( x .x. y ) =/= X <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) )
21	1, 20	anbi12i 733	. 2 |- ( ( X e. ( B \ U ) /\ A. x e. ( B \ U ) A. y e. ( B \ U ) ( x .x. y ) =/= X ) <-> ( ( X e. B /\ -. X e. U ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
22		isirred2.1	. . 3 |- B = ( Base ` R )
23		isirred2.2	. . 3 |- U = (Unit ` R )
24		isirred2.3	. . 3 |- I = (Irred ` R )
25		eqid 2622	. . 3 |- ( B \ U ) = ( B \ U )
26		isirred2.4	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
27	22, 23, 24, 25, 26	isirred 18699	. 2 |- ( X e. I <-> ( X e. ( B \ U ) /\ A. x e. ( B \ U ) A. y e. ( B \ U ) ( x .x. y ) =/= X ) )
28		df-3an 1039	. 2 |- ( ( X e. B /\ -. X e. U /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) <-> ( ( X e. B /\ -. X e. U ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )
29	21, 27, 28	3bitr4i 292	1 |- ( X e. I <-> ( X e. B /\ -. X e. U /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = X -> ( x e. U \/ y e. U ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Unitcui 18639  Irredcir 18640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-irred 18643

This theorem is referenced by:  irredcl  18704  irrednu  18705  irredmul  18709  prmirredlem  19841